Kunnen gitaarfretten vermenigvuldigen?

Ik ben er zeker van dat sommige afbeeldingen duizend woorden waard zijn, maar andere wekken vooral grote verbazing op. Dat was het geval bij de omslag van een boek dat ik onlangs kocht met de titel Calculating with Tones: The Logarithmic Logic of Music.

Dit boek is uitgegeven door de Oughtred Society, een organisatie vernoemd naar William Oughtred, de Anglicaanse geestelijke en wiskundige aan wie de uitvinding van de eerste logaritmische rekenliniaal rond 1622 wordt toegeschreven. De Oughtred Society werd in 1991 opgericht en wijdt zich aan het behoud en de geschiedenis van rekenlinialen en andere rekeninstrumenten.

Deze omslagillustratie intrigeerde me omdat logaritmen zowel een rol spelen in onze waarneming van muzikale toonhoogte als in de constructie van een rekenliniaal. Zoals ik bespreek in mijn lopende webboek The Lost Art of Logarithms, werden logaritmen en de rekenliniaal oorspronkelijk uitgevonden om de tedious processen van vermenigvuldiging en andere wiskundige taken te vergemakkelijken, maar ze blijven essentieel om onder andere onze waarneming van de natuurlijke wereld te begrijpen.

De illustratie op de omslag lijkt echter een directe correspondentie te suggereren tussen de afstand van de streepjes op een rekenliniaal en de onregelmatige afstand van de fretten op een gitaar. Het suggereert zelfs dat gitaarfretten zodanig zijn geplaatst dat ze gebruikt zouden kunnen worden om vermenigvuldigingen uit te voeren, net als bij een rekenliniaal. Waarom zou het boek anders Calculating with Tones heten?

De illustratie wordt op pagina 34 van het boek gereproduceerd met een bijschrift dat beide helften van de afbeelding beschrijft:

• Gitaar: Fretten zijn op de hals van de gitaar geplaatst om te helpen individuele noten te lokaliseren. De afstand van de ene naar de andere wordt korter naarmate de fretten dichter bij de kam (bridge) komen. Deze afname is logaritmisch.
• Rekenliniaal: De schaal op de rekenliniaal komt overeen met een logaritmische functie. Bij het gebruik van de rekenliniaal voert men vermenigvuldigingen uit door afstanden op te tellen. De progressieve afname van de afstand tussen de markeringen op de rekenliniaal komt overeen met hetzelfde principe op de hals van de gitaar.

Ondanks hoe overtuigend die illustratie en beschrijving zijn, bleef er iets aan me knagen. Het leek fundamenteel onjuist, maar ik kon het exacte probleem niet aanwijzen.

Vermenigvuldigen met gitaarfretten

Om dit te onderzoeken, had ik eerst een gitaar nodig. Als deze gitaar werkelijk in staat is om getallen te vermenigvuldigen, moeten er numerieke labels aan worden toegevoegd. In tegenstelling tot de terminologie op de omslag van Calculating with Tones, is de gitaarsnaar gespannen tussen de topkam (nut) aan de linkerkant en de kam (saddle) aan de rechterkant. Deze bevestigingen houden de snaren op hun plaats en bepalen hun effectieve lengte wanneer ze worden aangeslagen zonder dat de snaren tegen fretten worden gedrukt. Halverwege de topkam en de kam bevindt zich de 12e fret, die de snaar effectief in tweeën splitst om een toon te spelen die een octaaf hoger is dan de open snaar.

In de omslagillustratie is de topkam uitgelijnd met de 1 op de C- en D-schalen van de rekenliniaal, en de 12e fret is uitgelijnd met de 2. Laten we deze getallen overbrengen naar de gitaar. Tussen deze twee punten liggen 11 fretten, die logischerwijs gelabeld moeten worden als fracties van 12 tussen 1 en 2.

De volgende stap is om de gitaar (conceptueel) doormidden te zagen, zodat de twee stukken weer samengevoegd kunnen worden, maar met de vrijheid om één deel ten opzichte van het andere te verschuiven.

Stel dat je bijvoorbeeld 7/6 wilt vermenigvuldigen met 3/2. Verschuif het bovenste deel van de gitaar zodat de 1 bovenop is uitgelijnd met de 7/6 onderop. Zoek nu 3/2 op het bovenste deel. Daartegenover op het onderste deel staat het product: 7/4, wat inderdaad 7/6 maal 3/2 is.

De meeste andere getallencombinaties vereisen interpolatie tussen de fretten, wat niet altijd eenvoudig is. Maar een paar andere combinaties werken goed, zoals 5/4 maal 4/3 wat gelijk is aan 5/3, en 4/3 maal 3/2 wat gelijk is aan 2.

Op het eerste gezicht lijkt dit experiment een succes: gitaarfretten kunnen zeker vermenigvuldigen!

Nee, gitaarfretten kunnen niet vermenigvuldigen

Ben je klaar voor het moment waarop mijn triomf wordt bespot?

De meeste akoestische gitaren hebben 18 of 19 fretten, dus kan ik die niet gebruiken voor experimenten met fret-gebaseerde vermenigvuldigingen die verder gaan dan producten van 2. Elektrische gitaren hebben echter vaak meer fretten, soms wel 24, waardoor elke snaar een bereik van twee octaven heeft.

Ik vond een afbeelding van een elektrische gitaar met twee octaven. De topkam en de fretten kunnen op dezelfde manier worden gelabeld als bij de akoestische gitaar, maar hoe moet ik de fret van het tweede octaaf labelen?

Op de omslagillustratie van Calculating with Tones is de topkam uitgelijnd met 1, de 12e fret met 2, maar de kam (saddle) met 4. Hoewel de correspondentie tussen de gitaarfretten en de rekenliniaal goed lijkt te werken voor het eerste octaaf, bevindt de 24e fret zich halverwege de 12e fret en de kam, maar dat komt ongeveer overeen met 2.8 op de rekenliniaal. Wat betekent dat? En wat betekent het dat de 4 op de rekenliniaal overeenkomt met de gitaarkam? De rekenliniaal gaat door met 5, 6, enzovoort tot 10, maar gitaarfretten kunnen niet verder gaan dan de kam.

Ondanks mijn zorgen label ik de elektrische gitaarfretten tot 3 en probeer ik opnieuw te vermenigvuldigen. Nu is het eenvoudig om paren getallen te vinden die niet kloppen. Bijvoorbeeld een vermenigvuldiging van 3/2 en 2, wat gelijk zou moeten zijn aan 3. Wanneer de 1 op het bovenste deel is uitgelijnd met de 3/2 op het onderste deel, bevindt de 2 op het bovenste deel zich een stuk voorbij de 3 op het onderste deel.

Waarom lijkt deze fret-gebaseerde rekenliniaal te werken voor één octaaf, maar niet voor twee octaven? Ik ben bang dat dit onderwerp een diepere duik vereist.

Hoe een echte rekenliniaal werkt (kortgevat)

Het lijkt erop dat gitaarfretten een rekenliniaal gedeeltelijk nabootsen, maar het niet helemaal redden.

Logaritmen werden uitgevonden om de vermenigvuldiging van getallen met meerdere cijfers te vereenvoudigen. Tegenwoordig begrijpen we logaritmen als de inverse van exponentiële groei. Als: $$y = 10^x$$ dan is de decimale (basis-10) logaritme van $y$ gedefinieerd als: $$\log(y) = x$$

Het is bekend dat wanneer twee machten van 10 worden vermenigvuldigd, de exponenten kunnen worden opgeteld: $$10^N \times 10^M = 10^{N+M}$$

Hieruit volgt dat de som van de logaritmen van twee getallen gelijk is aan de logaritme van het product van die twee getallen: $$\log(N \times M) = \log(N) + \log(M)$$

De rekenliniaal implementeert deze berekening in een paar schuivende linialen. Elke markering op de schaal is gepositioneerd op basis van de totale lengte van de schaal vermenigvuldigd met de decimale logaritme van het getal. De schaal begint bij 1 omdat de logaritme van 1 nul is.

Door twee van deze logaritmische linialen tegenover elkaar te plaatsen, heb je een rekenliniaal. Je lijnt de 1 op de bovenste schaal uit met het eerste getal op de onderste schaal. Vervolgens lijn je de tweede factor uit op de bovenste schaal; het product is dan afleesbaar op de onderste schaal.

Er is geen magie involved. Je telt of trekt simpelweg liniaallengtes op of af. Maar omdat de getallen op de linialen logaritmen zijn, worden de getallen effectief vermenigvuldigd.

Onze logaritmische waarneming van toonhoogte

Het lijkt redelijk dat gitaarfretten logaritmisch zijn geplaatst, omdat onze waarneming van muzikale toonhoogte logaritmisch is.

Geluid is trilling. De frequentie van een trilling wordt aangegeven in hertz (Hz). Mensen kunnen over het algemeen geluiden horen met frequenties tussen 20 Hz en 20.000 Hz, maar we nemen deze frequenties niet lineair waar. We ervaren het verschil tussen 1000 Hz en 2000 Hz als hetzelfde verschil als tussen 2000 Hz en 4000 Hz.

Deze verdubbeling van frequentie wordt waargenomen als een verandering in toonhoogte die we een octaaf noemen. Binnen de westerse traditie is het octaaf verdeeld in 12 stappen.

Vanaf de late 16e eeuw ontstond de voorkeur voor gelijke stemming (equal temperament), waarbij elke stap (semitoon) dezelfde relatieve afstand heeft. Dit betekent dat de semitoon geen vast aantal hertz is, maar een vermenigvuldigingsfactor. De factor moet een getal zijn dat, wanneer het 12 keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, gelijk is aan 2. Dit getal is de twaalfde wortel van 2:

$$\text{Semitoon-multiplier} = 2^{1/12} \approx 1,059463...$$

Als we de toetsen van een piano nummeren van 1 (A0) tot 88 (C8), kan de frequentie van elke toets worden berekend met de formule: $$\text{frequentie} = 440 \times 2^{\frac{(\text{toetsnummer} - 49)}{12}}$$

Of, uitgedrukt met een binaire logaritme (basis-2): $$\text{toetsnummer} = 49 + 12 \times \log_2\left(\frac{\text{frequentie}}{440}\right)$$

Onze waarneming van toonhoogte is dus logaritmisch.

Frequentie en snaarlengte

De frequentie van een trillende snaar hangt af van het materiaal, de dikte, de spanning en de lengte. Bij een gestemde gitaar is de frequentie volledig afhankelijk van de lengte van het trillende deel van de snaar. De relatie tussen frequentie en lengte is simpel: ze zijn omgekeerd proportioneel. Hoe korter de snaar, hoe hoger de frequentie. Halveer de lengte, en de frequentie verdubbelt (één octaaf hoger).

De gitaar fretten

De fretten van een gitaar moeten dus zo worden geplaatst dat elke opeenvolgende fret de frequentie verhoogt met een factor van 1,059. Omdat frequentie omgekeerd proportioneel is aan lengte, moet elke fret de lengte van de snaar verkorten met de inverse van de semitoon-multiplier:

$$\text{snaar-reductiefactor} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/12} \approx 0,943874...$$

Stel dat een snaar van topkam naar kam 100 centimeter lang is. De eerste fret bevindt zich op $100 \times 0,944 = 94,4$ cm vanaf de kam (en dus 5,6 cm vanaf de topkam). De tweede fret bevindt zich op $94,4 \times 0,944 = 89,1$ cm vanaf de kam. Dit proces gaat door tot de 12e fret, die de snaar precies halveert: $100 \times (0,944)^{12} \approx 50$ cm.

De algemene formules zijn: $$\text{snaarlengte vanaf fret} = \text{totale lengte} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\text{fretnummer}}{12}}$$ $$\text{fret-afstand vanaf topkam} = \text{totale lengte} \times \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\text{fretnummer}}{12}}\right)$$

Een rekenliniaal op basis van fretten bouwen

Er werden geen logaritmen gebruikt bij het ontwikkelen van de formule voor fretposities. Toch kan ik nu een fret-gebaseerde rekenliniaal maken zonder gitaren door te zagen.

Als ik de eerste octaaf aan fretten label met fracties tussen 1 en 2 en dit probeer te gebruiken als rekenliniaal, merk ik dat het niet exact is. De markeringen lopen niet precies gelijk. Als gitaarfretten werkelijk logaritmisch geplaatst waren, zou dit niet gebeuren.

Een verhaal van twee liniaal-schalen

Het is irritant dat een rekenliniaal gebaseerd op gitaarfretten bijna werkt als een logaritmische rekenliniaal, maar niet exact.

Als we de functies grafisch vergelijken, zien we dat de schaal gebaseerd op fretten en de schaal gebaseerd op logaritmen alleen samenvallen bij de punten 1 en 2. De functie voor de afstand van een fret is: $$\text{afstand} = 2 - (2)^{\frac{n-2}{12}}$$ (genormaliseerd)

De functie voor een logaritmische schaal is: $$\text{afstand} = \log_2(n)$$

Hoewel de lijnen tussen $n=1$ en $n=2$ dicht bij elkaar liggen, zijn dit definitief niet dezelfde functies. Ik ben misleid door de illustratie op de omslag van Calculating with Tones. Veel fenomenen in onze wereld kunnen logaritmisch worden geïnterpreteerd, inclusief muziek, maar dat geldt niet voor de fysieke positionering van gitaarfretten.

***

Addendum: De geometrische benadering van fretpositionering

Hoe bepaalden mensen vroeger de positie van fretten zonder rekenmachines? Een populaire methode was het gebruik van een ratio uit het boek Dialogo della musica antica et della moderna (1581) van Vincenzo Galilei.

Galilei suggereerde een ratio van 18:17 voor het positioneren van de fretten. Dit impliceert dat de semitoon-multiplier wordt benaderd door: $$\text{Semitoon-multiplier} \approx \frac{18}{17} \approx 1,058824...$$

Als je $18/17$ twaalf keer met zichzelf vermenigvuldigt, kom je uit op 1,985560, wat zeer dicht bij 2 ligt. De snaar-reductiefactor is in dit geval $17/18$.

Het voordeel van 17/18 is dat het een ratio is, en ratio's zijn extreem nuttig in de geometrie. Men kan met een passer en liniaal een methode opzetten waarbij elke nieuwe fret op 17/18e van de resterende lengte van de snaar wordt geplaatst.

Deze techniek was zeer invloedrijk; musicologen rapporteren dat referenties naar de 18:17 semitoon tot in de 19e eeuw werden gebruikt. Dit is waarschijnlijk ook de techniek die is gebruikt voor de gitaar in het schilderij De Gitaarspeler (1672) van Johannes Vermeer.

In de praktijk zullen gitaarbouwers die deze ratio gebruikten waarschijnlijk subtiele aanpassingen hebben gedaan om een zuiver octaafinterval te realiseren.