Er bestaan magische hexagonen van elke orde

Deze vraag kwam vorige maand ter sprake tijdens een gesprek tussen alumni van YSDA, toen de school 19 jaar bestond. Iemand merkte op dat 19 een tweelingpriem is. Een ander antwoordde dat 19 het aantal cellen is in de enige niet-triviale normale magische hexagon.

Maar wat is een "magische hexagon"? Laten we daar beginnen.

Een opmerking over AI-ondersteunde wiskunde

Onlangs hebben we veel gehoord over AI die miraculeus langlopende vermoedens bewijst of weerlegt, vaak zonder veel uitleg over hoe dit is gedaan. Dit verhaal biedt een blik in het proces van het doen van zo'n wiskundige ontdekking.

Magische vierkanten en magische hexagonen

Je kent waarschijnlijk magische vierkanten. Een magisch vierkant is een vierkant raster van getallen waarin elke rij, elke kolom en beide hoofddiagonalen optellen tot hetzelfde totaal, bekend als de magische constante. Meestal eisen we ook dat de getallen opeenvolgend zijn — typisch van $1$ tot $n^2$ — en noemen we dit een normaal magisch vierkant. Anders zouden we simpelweg in elke cel hetzelfde getal kunnen plaatsen, wat een zeer saaie manier zou zijn om een vierkant te vullen.

Magische vierkanten zijn al millennia bekend en worden nu zeer goed begrepen. Er bestaan algoritmen voor het construeren van normale magische vierkanten van elke orde $n>2$.

Een magische hexagon past hetzelfde idee toe op een hexagonaal raster. De cellen vormen rechte lijnen in drie richtingen, en elke lijn moet dezelfde som hebben. Net als bij vierkanten wordt een magische hexagon normaal genoemd als deze de opeenvolgende getallen van $1$ tot $3n^2-3n+1$ bevat, wat het totaal aantal cellen is in een hexagon van orde $n$.

Er bestaat slechts één niet-triviale normale magische hexagon (apart van zijn eigen rotaties en reflecties). Het bewijs hiervoor is eenvoudig: in elk van de drie richtingen worden de cellen verdeeld in $2n-1$ lijnen. Daarom moet de som van alle getallen deelbaar zijn door $2n-1$. Voor elke orde $n>3$ voldoet de som van de getallen van $1$ tot $3n^2-3n+1$ niet aan deze deelbaarheidstest.

Om het verhaal interessanter te maken, kijken we naar de zogenaamde abnormale magische hexagonen. Hier versoepelen we één beperking: de getallen op het raster moeten nog steeds opeenvolgend zijn, maar ze hoeven niet meer bij $1$ te beginnen. Deze kleine aanpassing zorgt er plotseling voor dat er nieuwe oplossingen verschijnen.

Het vinden hiervan is echter niet eenvoudig. In tegenstelling tot magische vierkanten was er geen formulematige constructie of deterministisch algoritme. De enige bekende aanpak was het doorzoeken van een bruut grote zoekruimte van mogelijke arrangementen. Volgens Wikipedia was de grootste bekende oplossing tot juli 2026 een hexagon van orde $n=9$, gevonden door Klaus Meffert in 2024.

Wat maakt deze oplossingen zo moeilijk te vinden? En wat gebeurt er als we het zelf proberen?

Hoofdstuk 1: Observaties doen (met het menselijk brein)

Er is een duidelijke spanning tussen twee onafhankelijke beperkingen:

• De getallen moeten opeenvolgend zijn;
• Alle lijnsommen moeten gelijk zijn, ondanks dat de lijnen verschillende lengtes hebben.

Eerdere oplossingen suggereerden dat mensen al diverse zoekalgoritmen hadden geprobeerd en deze waarschijnlijk goed hadden geoptimaliseerd. Dat deed me denken dat ik, als ik het vakgebied vooruit wilde helpen, me niet moest richten op het sneller maken van de zoektocht, maar op het kleiner maken van de zoekruimte.

Observatie: Antisymmetrische hexagonen zijn veel eenvoudiger

Ten eerste beperken we de getallen op het raster tot het symmetrische interval $-K, \dots, K$ voor een bepaalde $K$. Als alle lijnsommen gelijk zijn, is dit equivalent aan de eis dat elke lijnsom nul moet zijn.

Ten tweede plaatsen we $0$ in het centrum en eisen we dat cellen die tegenover elkaar liggen bij een rotatie van 180 graden tegengestelde waarden bevatten. Als één cel $x$ bevat, bevat de antipodale cel $-x$.

Merk op hoeveel beperkingen hierdoor verdwijnen. Elke lijn door het centrum sommeert automatisch naar nul omdat de waarden elkaar in tegenovergestelde paren opheffen. Elke andere lijn heeft een antipodale lijn met de som van de tegenovergestelde getallen; als de één nul is, is de ander dat ook.

Natuurlijk brengt het vereenvoudigen van de beperkingen een risico met zich mee: wellicht voldoen er helemaal geen oplossingen aan deze extra symmetrie. Op dit punt was antisymmetrie simpelweg een aannemelijke plek om te zoeken, volgens het "drunkard's principle".

Maar toen ik begon na te denken over nul-som hexagonen, verscheen er een andere structuur.

Observatie: Elke nul-som hexagon is opgebouwd uit dezelfde 6-puntsring

Korte opmerking: Deze observatie is interessant maar niet essentieel voor wat volgt. Als het moeilijk te volgen is, kun je dit deel overslaan.

Beschouw een willekeurig hexagonaal raster, nul-som of niet. Neem de zes cellen rondom een willekeurig intern punt en voeg het alternerende patroon $[-1, +1, -1, +1, -1, +1]$ toe. Laat de centrale cel ongewijzigd.

Elke rechte lijn die deze ring snijdt, ontvangt ofwel geen bijdrage, of twee tegenovergestelde bijdragen ($+1$ en $-1$). De som blijft dus ongewijzigd. We kunnen elk veelvoud van dit patroon toevoegen zonder een enkele lijnsom te veranderen.

Deze lokale alternerende ringen vormen een basis: elke nul-som hexagon kan worden gebouwd als een unieke lineaire combinatie van deze ringen. Ik laat het bewijs achterwege voor de beknoptheid, maar het idee is vrij rechttoe rechtaan. Door te beginnen bij de buitenste laag en ringcoëfficiënten te kiezen die de cellen daar neutraliseren, kan men via inductie naar binnen toe werken.

Een nul-som hexagon van orde $n$ heeft dus twee equivalente representaties:

1. De zichtbare celwaarden;
2. Een potentieelveld van orde $(n-1)$, dat registreert hoeveel van elke lokale ring het bevat.

De representatie via het potentieelveld voldoet per definitie aan elke lijnsom-beperking. Het garandeert echter niet dat de zichtbare waarden uniek en opeenvolgend zijn; dat blijven lastige globale beperkingen.

Deze representatie werkt ook goed samen met antisymmetrie. Het potentieelveld van een antisymmetrische hexagon is zelf symmetrisch. Het idee is dat we, in plaats van te zoeken tussen willekeurige arrangementen en herhaaldelijk kapotte lijnen te repareren, nu volledig kunnen zoeken binnen de ruimte waar elke lijn al sommeert naar nul. Dit zou een kleinere zoekruimte voor de solver kunnen zijn.

Hoofdstuk 2: Nieuwe hexagonen vinden (AI schrijft code)

Rond diezelfde tijd hielp ik bij het vooraf oplossen van problemen voor de Midnight Code Cup 2026, een programmeerwedstrijd waarin het gebruik van LLM's expliciet wordt aangemoedigd. Veel van deze taken zijn optimalisatieproblemen. Mijn belangrijkste conclusie was dat LLM's ongebruikelijk effectief kunnen zijn in het ontwikkelen van domeinspecifieke solvers, waardoor ze algemene tools zoals Z3 en OR-Tools ver achter zich laten.

Dus in plaats van opnieuw naar een generieke constraint solver te grijpen, ging ik naar GPT-5.6 Sol en gaf het model meer vrijheid met het probleem. Ik wees op de antisymmetrie-beperking en de representatie via het potentieelveld. Het model zocht naar gerelateerde concepten en verbond het probleem aan Heffter arrays: combinatorische arrangementen van getekende gehele getallen met voorgeschreven nul-som condities. De problemen zijn niet identiek, maar de connectie suggereerde betere manieren om waarden te organiseren en uit te wisselen terwijl de beïnvloedde sommen onder controle bleven.

Het resulterende programma liet de generieke constraint-solver benadering vallen ten gunste van een aangepaste simulated annealing. Vervolgens heb ik enkele optimalisatierondes uitgevoerd: ik vroeg het model om Numba te gebruiken voor de "hot loops", identificeerde bottlenecks in geheugenallocatie en willekeurige getallengeneratie met perf, en wist uiteindelijk nog 50% meer prestaties uit het programma te persen.

Daarna heb ik het een paar dagen laten draaien op mijn homeserver over ongeveer 24 CPU-cores. Zoals ik had gehoopt, werkte de combinatie van een kleinere zoekruimte en een gespecialiseerde solver uitzonderlijk goed. Al snel had ik magische hexagonen ontdekt van elke orde tot $n=21$.

De celwaarden zien er chaotisch en ruizig uit, maar hun potentieelvelden niet. Ze lijken op terreinkaarten, met brede hellingen, ruggen, valleien en verrassend vloeiende overgangen. Ik wist nog niet of deze vloeiendheid een aanwijzing was of simpelweg een artefact van de zoektocht. In ieder geval was het moeilijk om naar die landschappen te kijken zonder te vermoeden dat er een grotere structuur onder verborgen zat.

Hoofdstuk 3: Alle hexagonen vinden (AI voert de regie)

Het herhaaldelijk vinden van grotere oplossingen leidde natuurlijk tot een vermoeden:

Conjectuur: Er bestaan abnormale antisymmetrische opeenvolgende magische hexagonen voor elke orde $n>3$.

Dit was een sterke claim. Voor dit project waren er slechts een handvol abnormale magische hexagonen bekend, en ik had bovendien de extra beperking van antisymmetrie opgelegd. Maar geïnspireerd door recente successen van AI in de wiskunde was ik benieuwd hoe het systeem dit probleem zou aanpakken. Zou AI het vanaf het begin kunnen bewijzen?

Ik besloot twee AI-systemen te proberen:

1. GPT-5.6 Sol: het sterkste general-purpose model dat voor mij beschikbaar was via mijn persoonlijke abonnement;
2. Aristotle: een op Lean gerichte theorem-proving agent.

Ik gaf GPT-5.6 Sol eerst de probleemstelling, de bekende oplossingen en diverse aanvullende intuïties. Het stelde nieuwe hypothesen en mogelijke constructies voor, en begon het probleem in kleinere stukken op te delen. Op dit stadium voelde ik me nog steeds zeerzeer aan het roer: ik leerde onbekend wiskundig instrumentarium, controleerde de argumenten, wees onproductieve richtingen af en stuurde een proces dat ik grotendeels kon volgen.

Na verschillende dagen iteratie was het probleem gereduceerd tot een paar sleutellemma's, waarna ik Aristotle inschakelde om parallel aan een formeel bewijs te werken. Uiteindelijk liep het proces vast. Beide agenten bleven optimistisch, maar ze zaten duidelijk vast en herhaalden dezelfde ideeën zonder betekenisvolle vooruitgang te boeken. Ik verzwakteHet vermoeden tot de bescheidener claim dat er oneindig veel abnormale magische hexagonen bestaan. We verkenden nieuwe hypothesen en zelfs niet-constructieve benaderingen.

Toch stootten we op een muur. Ik zette vervolgens GPT-5.6 Sol (max) in, dat vele uren redeneerde en... ook geen bewijs vond. Voordat de credits op waren, produceerde het echter verschillende nieuwe ideeën. Deze ideeën werden onderdeel van de gedeelde context van het project.

In een later gesprek, terwijl ik GPT-5.6 Sol (high) opnieuw richting een bewijs stuurde, pikte het model enkele van die eerdere ideeën op en combineerde deze tot wat leek op een doorbraak. Na computationele controle had ik een constructief argument voor elke orde $n>800$ die deelbaar is door 16.

Zodra dit voetvast punt was gevestigd, kwam er echt vaart in de zaak. Iteratie na iteratie dwong ik GPT-5.6 Sol (high) om de constructie te generaliseren: eerst naar ordes deelbaar door 8, dan door 4, dan door 2, en uiteindelijk om de deelbaarheidsvoorwaarde volledig te verwijderen. De bewezen drempel zakte ook van 800 naar 114.

De drempel van 114 moet correct worden geïnterpreteerd: het is een handige grens waaronder de ongelijkheden en combinatorische keuzes in het bewijs theoretisch eenvoudig te rechtvaardigen zijn. Het lijkt geen fundamentele beperking van de constructie te zijn, omdat dezelfde methode in de praktijk ook ver onder die drempel succesvol is.

Toen de algemene constructie bestond, zocht ik naar eenvoud en determinisme. Het was duidelijk dat de initiële constructie veel speciale gevallen en hulpmechanismen bevatte. GPT-5.6 Sol (high) vond herhaaldelijk redundanties in de constructie en verving deze door een schoner, deterministisch algoritme.

Het kostte tientallen lange gesprekken en dagen van redeneren, maar het vermoeden is opgelost. Het resultaat is constructief: het stelt niet alleen dat deze hexagonen bestaan, maar geeft een algoritme om ze te bouwen, beginnend bij relatief lage ordes. Samen met de eindige bewijzen tot $n=21$ die ik eerder via brute force had gevonden, bestrijkt dit elke orde $n>3$.

Het is belangrijk om op te merken dat het bewijs op het moment van schrijven nog niet was geformaliseerd in Lean en niet onafhankelijk was geverifieerd. Dit zal de natuurlijke volgende stap zijn.

De hexagon construction kit is beschikbaar in de gukoff/magic-hexagons repository.

Hoofdstuk 4: Reflecties

Ik begon dit project met AI als co-piloot en mezelf op de bestuurdersstoel. Aan het eind was ik meer een passagier: de AI deed veel van het creatieve werk, terwijl ik het een zetje gaf in richtingen die veelbelovend leken.

Ik ben blij dat enkele ideeën uit mijn menselijke brein instrumenteel bleken te zijn. Antisymmetrie speelt een grote rol in de uiteindelijke constructie; de potentieelvelden minder, hoewel hun vloeiendheid interessant blijft en wellicht nog meer onthult.

GPT-5.6 Sol is een opmerkelijk capabele wiskundige redeneerder, maar heeft een tweesnijdend vermogen tot tunnelvisie. Het kan zeer diep gaan in een gekozen richting. Als die richting juist is, is dit ongelooflijk krachtig. Als het fout is, is het essentieel om een arbiter in het proces te houden — een ander model of, in mijn geval, een mens — om het model te herinneren aan het grotere plaatje en op te merken wanneer betekenisvolle vooruitgang is gestopt.

Het was cruciaal dat het model toegang had tot het internet. Het vond relevante papers en wiskundige concepten die ik niet had kunnen voorzien of vooraf had kunnen aanleveren.

In software engineering werd de code review een bottleneck zodra LLM's codegeneratie goedkoop maakten. Statisch getypeerde talen, statische analyse en testen werden plotseling belangrijker dan ooit, omdat ze een deel van de groeiende last van correctheidsverificatie konden overnemen van mensen.

De wiskunde staat nu voor een soortgelijk probleem. AI kan kandidaat-theorieën en bewijzen sneller produceren dan mensen ze verantwoord kunnen verifiëren. Lean en andere machine-verifieerbare bewijssystemen moeten een enorme zegen zijn voor de gemeenschap, omdat ze een manier bieden om verificatie mee te laten schalen met generatie.

Ik vraag me af of de technieken uit dit project kunnen worden toegepast op andere combinatorische constructieproblemen en ontwikkeld kunnen worden tot iets algemener dan een oplossing voor één hexagonale puzzel. Heffter arrays komen natuurlijk direct in beeld.

Het is grappig hoe dit verhaal begon met interesse in het getal 19 en eindigde met een constructie van magische hexagonen voor elke orde groter dan 3. De resterende uitdaging is om het bewijs machine-verifieerbaar te maken — nu is het tijd voor Aristotle en leanprover/comparator om aan de slag te gaan.