Samenvatting: AI-doorbraak in getaltheorie
Hoewel een onderzoekversie van Claude niet in staat was om de beroemde Riemann-hypothese volledig te bewijzen, heeft het model wel een significante doorbraak geforceerd op een gerelateerd probleem. Claude wist de ondergrens voor het aandeel nulpunten van de Riemann-zeta-functie die voldoen aan de hypothese te verhogen van 41,6% naar 67,2%.
Het proces en de methodiek: De ontdekking kwam voort uit een experiment waarbij Claude via Claude Code werd aangestuurd. Het model coördineerde ongeveer 60 subagenten die duizenden Python-scripts uitvoerden, numerieke controles deden en elkaars werk beoordeelden. Opvallend is dat aanmoedigende prompts van medewerker Jarred Sumner hielpen om de initiële scepsis van het model te overwinnen.
Validatie: Het resultaat is niet alleen door menselijke wiskundigen bij Anthropic gevalideerd, maar er is ook een formeel verifieerbaar bewijs in Lean geproduceerd. Dit werk illustreert de versnellende snelheid waarmee AI-modellen in staat zijn om complexe wiskundige concepten te combineren en nieuwe resultaten te genereren.
Meer leren over de wiskundige mogelijkheden van Claude
Onlangs deed een medewerker van Anthropic een onredelijke uitdaging aan Claude. Het ging om een van de beroemdste onopgeloste problemen in de wiskunde: waag een serieuze poging om de Riemann-hypothese te bewijzen.
Claude waagde inderdaad een poging, maar zoals men zou kunnen verwachten als men bekend is met de moeilijkheidsgraad van de taak (de Riemann-hypothese stamt uit 1859 en er rust een prijsgeld van een miljoen dollar op), slaagde het model hier niet in. Toch boekte Claude tijdens deze poging onverwacht vooruitgang op een gerelateerd probleem.
Een niet-gepubliceerde onderzoekversie van Claude heeft een langdurige ondergrens verbeterd voor het aandeel nulpunten van de Riemann-zeta-functie die voldoen aan de Riemann-hypothese. Door voort te bouwen op uitgebreid voorafgaand onderzoek door wiskundigen uit de afgelopen decennia, heeft het model deze grens verhoogd van 41,6% naar 67,2%.
Twee wiskundigen bij Anthropic hebben het paper van Claude bestudeerd en gevalideerd, en een informele notitie voor experts opgesteld waarin het bewijs van Claude beknopt wordt weergegeven. Daarnaast produceerde Claude een formeel verifieerbaar bewijs van het resultaat. We zijn dankbaar aan Brian Conrey en Dan Goldston, twee experts op dit gebied, die op korte termijn bereid waren het paper te beoordelen.
We verwachten niet dat de technieken die Claude heeft gebruikt zullen leiden tot het bewijzen van de Riemann-hypothese zelf. Maar dit werk dient als het nieuwste voorbeeld van de snelheid waarmee de wiskundige capaciteiten van AI-modellen vorderen. In dit bericht bespreken we hoe Claude dit probleem aanpakte en wat het heeft gevonden.
De Riemann-zeta-functie
De Riemann-zeta-functie beschrijft de distributie van priemgetallen: elke plek waar de functie de waarde nul aanneemt, draagt opeenvolgende fijnere details bij aan de reeks priemgetallen. De Riemann-hypothese stelt dat de nulpunten die de priemgetallen bepalen, zich allemaal bevinden op een bepaalde verticale lijn. Dit is een van de meest consequente vermoedens in de wiskunde geworden; veel resultaten gaan ervan uit dat dit waar is om een vorm van willekeurigheid in de priemgetallen te kunnen aantonen.
Niemand is er tot nu toe in geslaagd de Riemann-hypothese te bewijzen of te weerleggen, maar wiskundigen hebben vooruitgang geboekt in diverse gerelateerde richtingen door de Riemann-zeta-functie en diens nulpunten te bestuderen. Een van deze richtingen is het kwantificeren van een minimumpercentage nulpunten dat zich op de lijn bevindt: in de loop van de tijd is dit bekende constante aandeel geleidelijk verhoogd naar 41,6%.
Een andere richting betreft de distributie van nulpunten op de lijn. In het bijzonder introduceerde Montgomery in 1973 een aantal nieuwe technieken op dit gebied, hoewel deze technieken ervan uitgingen dat de hypothese waar was. Recentelijk hebben verschillende wiskundigen (Baluyot, Goldston, Suriajaya en Turnage-Butterbaugh) een reeks werken gepubliceerd waardoor de technieken van Montgomery kunnen werken zonder die aanname. Dit betekent dat zij ondersteuning kunnen bieden aan werk dat gericht is op het verhogen van de constante ondergrens voor de nulpunten op de lijn. Het resultaat van Claude leunt zwaar op deze onderzoekslijn, samen met een paper uit 2000 door Bombieri.
De ontdekking van Claude
Claude ontdekte dat het combineren van de resultaten van Baluyot, Goldston, Suriajaya en Turnage-Butterbaugh met het werk van Bombieri een manier biedt om de vorige state-of-the-art ondergrens van 41,6% te overtreffen en deze te verhogen naar 67,2%.
Een korte technische uitleg van de ontdekking is als volgt: Claude vormt een geschikte ruimte van functies met een kwadratische vorm geïnduceerd door Weil, en positief- (respectievelijk negatief-)gedefinieerde subruimten die voortvloeien uit nulpunten op (respectievelijk buiten) de lijn. Vervolgens stelt Claude simpelweg een ongelijkheid op over de rang van een kwadratische vorm in termen van informatie over het eerste en tweede moment. (De succesvolle berekening van dat laatste in termen van het duale beeld over priemgetallen, of via controle van een Hilbert-transformatie, is geen verrassing in de analytische getaltheorie.) De moed om de gehele ruimte te behandelen, waarbij positieve en negatieve definitiviteit samen worden meegewogen en de kwadratische vorm niet-diagonaal mag zijn, is in zekere zin de stap die Claude in staat stelt tot deze conclusie te komen op basis van het belangrijke voorbereidende werk.
De volledige technische uitleg is beschikbaar in het paper. De uitleg van Claude over hoe het tot dit resultaat kwam, is beschikbaar in een aparte Appendix.
Methodologie van Claude
Een niet-gepubliceerde onderzoekversie van Claude vond de nieuwe ondergrens gedurende twee sessies in Claude Code, waarbij in totaal 31 miljoen outputtokens werden gebruikt.
Jarred Sumner, een medewerker van Anthropic (en geen wiskundige), vroeg Claude om "een serieuze poging te wagen" aan de hypothese zelf, waarbij de wiskundige keuzes vanaf dat moment aan het model werden overgelaten. In eerste instantie genereerde en probeerde Claude 650 ideeën, waarvan er geen enkele werkten. Jarred vroeg Claude om het opnieuw te proberen, waarna het model anderhalf dag besteedde aan het coördineren van ongeveer 60 Claude-subagenten. Deze gingen ditmaal veel dieper: samen voerden ze 2.400 shell-commando's uit en schreven honderden Python-scripts. De subagenten voerden duizenden numerieke controles uit tegen bekende zeta-nulpunten en beoordeelden elkaars werk. Gedurende dit proces was de input van Jarred grotendeels beperkt tot het sturen van aanmoedigingsberichten naar Claude (voornamelijk varianten van "ga door" of "geloof in jezelf"). Dit lijkt Claude te hebben geholpen om een aanvankelijke scepsis over de mogelijkheid om betekenisvolle vooruitgang te boeken, te overwinnen.
Nadat het resultaat was gevonden tijdens de taak, testte Claude het werk door verschillende subagenten de bewijzen te laten controleren, te zoeken naar tegenvoorbeelden, 54 papers van arXiv te downloaden om te controleren of de ontdekking niet al eerder was gedaan, en onafhankelijk het resultaat vanaf nul opnieuw te bewijzen. Claude bood aan de bevindingen als een paper uit te schrijven en adviseerde een menselijke getaltheoreticus om de resultaten te valideren.
Levent Alpöge en Ralph Furman, twee van Anthropic's eigen wiskundigen, bekeken het werk van Claude om de nieuwe resultaten te begrijpen en te zien hoe deze zich verhielden tot het eerder genoemde voorbereidende werk. Parallel hieraan werkte Claude samen met een andere medewerker, Eric Easley, om een Lean-formalisering van het resultaat te produceren, die door de standaard validatietool comparator is goedgekeurd.
Vooruitgang van AI-modellen in de wiskunde
Dit resultaat laat zien dat AI-modellen zoals Claude de impact en het bereik van ideeën van wiskundigen kunnen uitbreiden op nieuwe en soms verrassende manieren. Hoewel het niet in staat was de Riemann-hypothese zelf op te lossen, ontstond dit resultaat als een onbedoeld bijproduct van het oorspronkelijke verzoek.
Zelfs Claude was verrast door zijn eigen ontdekking—het was aanvankelijk sceptisch, mogelijk omdat het via zijn training heeft geleerd over de moeilijkheidsgraad van open problemen in de wiskunde en over de beperkingen van AI-modellen. Maar na enkele aanmoedigende prompts kwam het tot het resultaat dat we hebben beschreven. Misschien onderschat Claude, net als velen van ons, het tempo van de AI-vooruitgang.
Aanvullende literatuur
Hieronder volgt een lijst met documenten die meer informatie bieden over het resultaat van Claude:
- Het paper van Claude;
- De formalisering van Claude;
- De informele notitie van Anthropic waarin het bewijs beknopter wordt weergegeven;
- De uitleg van Claude over hoe het tot dit resultaat kwam;
- Gedetailleerde transcripties van het proces van Claude.
***
Voetnoten
- Van de 60 subagenten waren er twee verantwoordelijk voor de ontwikkeling van de belangrijkste wiskundige ideeën, droegen 13 agenten ideeën aan bij deze agents, probeerden 30 agenten (zonder succes) nieuwe ideeën te ontwikkelen, dienden 13 agenten als validators om de correctheid van de argumenten te controleren, en hielpen de laatste twee bij het schrijven van het initiële paper.
- Een prompt met soortgelijke aanmoediging werd gebruikt om Claude te helpen de Jacobiaan-conjectuur te weerleggen.
Meer leren over de wiskundige mogelijkheden van Claude
Onlangs deed een medewerker van Anthropic een onredelijke uitdaging aan Claude. Het ging om een van de beroemdste onopgeloste problemen in de wiskunde: waag een serieuze poging om de Riemann-hypothese te bewijzen.
Claude waagde inderdaad een poging, maar zoals men zou kunnen verwachten als men bekend is met de moeilijkheidsgraad van de taak (de Riemann-hypothese stamt uit 1859 en er rust een prijsgeld van een miljoen dollar op), slaagde het model hier niet in. Toch boekte Claude tijdens deze poging onverwacht vooruitgang op een gerelateerd probleem.
Een niet-gepubliceerde onderzoekversie van Claude heeft een langdurige ondergrens verbeterd voor het aandeel nulpunten van de Riemann-zeta-functie die voldoen aan de Riemann-hypothese. Door voort te bouwen op uitgebreid voorafgaand onderzoek door wiskundigen uit de afgelopen decennia, heeft het model deze grens verhoogd van 41,6% naar 67,2%.
Twee wiskundigen bij Anthropic hebben het paper van Claude bestudeerd en gevalideerd, en een informele notitie voor experts opgesteld waarin het bewijs van Claude beknopt wordt weergegeven. Daarnaast produceerde Claude een formeel verifieerbaar bewijs van het resultaat. We zijn dankbaar aan Brian Conrey en Dan Goldston, twee experts op dit gebied, die op korte termijn bereid waren het paper te beoordelen.
We verwachten niet dat de technieken die Claude heeft gebruikt zullen leiden tot het bewijzen van de Riemann-hypothese zelf. Maar dit werk dient als het nieuwste voorbeeld van de snelheid waarmee de wiskundige capaciteiten van AI-modellen vorderen. In dit bericht bespreken we hoe Claude dit probleem aanpakte en wat het heeft gevonden.
De Riemann-zeta-functie
De Riemann-zeta-functie beschrijft de distributie van priemgetallen: elke plek waar de functie de waarde nul aanneemt, draagt opeenvolgende fijnere details bij aan de reeks priemgetallen. De Riemann-hypothese stelt dat de nulpunten die de priemgetallen bepalen, zich allemaal bevinden op een bepaalde verticale lijn. Dit is een van de meest consequente vermoedens in de wiskunde geworden; veel resultaten gaan ervan uit dat dit waar is om een vorm van willekeurigheid in de priemgetallen te kunnen aantonen.
Niemand is er tot nu toe in geslaagd de Riemann-hypothese te bewijzen of te weerleggen, maar wiskundigen hebben vooruitgang geboekt in diverse gerelateerde richtingen door de Riemann-zeta-functie en diens nulpunten te bestuderen. Een van deze richtingen is het kwantificeren van een minimumpercentage nulpunten dat zich op de lijn bevindt: in de loop van de tijd is dit bekende constante aandeel geleidelijk verhoogd naar 41,6%.
Een andere richting betreft de distributie van nulpunten op de lijn. In het bijzonder introduceerde Montgomery in 1973 een aantal nieuwe technieken op dit gebied, hoewel deze technieken ervan uitgingen dat de hypothese waar was. Recentelijk hebben verschillende wiskundigen (Baluyot, Goldston, Suriajaya en Turnage-Butterbaugh) een reeks werken gepubliceerd waardoor de technieken van Montgomery kunnen werken zonder die aanname. Dit betekent dat zij ondersteuning kunnen bieden aan werk dat gericht is op het verhogen van de constante ondergrens voor de nulpunten op de lijn. Het resultaat van Claude leunt zwaar op deze onderzoekslijn, samen met een paper uit 2000 door Bombieri.
De ontdekking van Claude
Claude ontdekte dat het combineren van de resultaten van Baluyot, Goldston, Suriajaya en Turnage-Butterbaugh met het werk van Bombieri een manier biedt om de vorige state-of-the-art ondergrens van 41,6% te overtreffen en deze te verhogen naar 67,2%.
Een korte technische uitleg van de ontdekking is als volgt: Claude vormt een geschikte ruimte van functies met een kwadratische vorm geïnduceerd door Weil, en positief- (respectievelijk negatief-)gedefinieerde subruimten die voortvloeien uit nulpunten op (respectievelijk buiten) de lijn. Vervolgens stelt Claude simpelweg een ongelijkheid op over de rang van een kwadratische vorm in termen van informatie over het eerste en tweede moment. (De succesvolle berekening van dat laatste in termen van het duale beeld over priemgetallen, of via controle van een Hilbert-transformatie, is geen verrassing in de analytische getaltheorie.) De moed om de gehele ruimte te behandelen, waarbij positieve en negatieve definitiviteit samen worden meegewogen en de kwadratische vorm niet-diagonaal mag zijn, is in zekere zin de stap die Claude in staat stelt tot deze conclusie te komen op basis van het belangrijke voorbereidende werk.
De volledige technische uitleg is beschikbaar in het paper. De uitleg van Claude over hoe het tot dit resultaat kwam, is beschikbaar in een aparte Appendix.
Methodologie van Claude
Een niet-gepubliceerde onderzoekversie van Claude vond de nieuwe ondergrens gedurende twee sessies in Claude Code, waarbij in totaal 31 miljoen outputtokens werden gebruikt.
Jarred Sumner, een medewerker van Anthropic (en geen wiskundige), vroeg Claude om "een serieuze poging te wagen" aan de hypothese zelf, waarbij de wiskundige keuzes vanaf dat moment aan het model werden overgelaten. In eerste instantie genereerde en probeerde Claude 650 ideeën, waarvan er geen enkele werkten. Jarred vroeg Claude om het opnieuw te proberen, waarna het model anderhalf dag besteedde aan het coördineren van ongeveer 60 Claude-subagenten. Deze gingen ditmaal veel dieper: samen voerden ze 2.400 shell-commando's uit en schreven honderden Python-scripts. De subagenten voerden duizenden numerieke controles uit tegen bekende zeta-nulpunten en beoordeelden elkaars werk. Gedurende dit proces was de input van Jarred grotendeels beperkt tot het sturen van aanmoedigingsberichten naar Claude (voornamelijk varianten van "ga door" of "geloof in jezelf"). Dit lijkt Claude te hebben geholpen om een aanvankelijke scepsis over de mogelijkheid om betekenisvolle vooruitgang te boeken, te overwinnen.
Nadat het resultaat was gevonden tijdens de taak, testte Claude het werk door verschillende subagenten de bewijzen te laten controleren, te zoeken naar tegenvoorbeelden, 54 papers van arXiv te downloaden om te controleren of de ontdekking niet al eerder was gedaan, en onafhankelijk het resultaat vanaf nul opnieuw te bewijzen. Claude bood aan de bevindingen als een paper uit te schrijven en adviseerde een menselijke getaltheoreticus om de resultaten te valideren.
Levent Alpöge en Ralph Furman, twee van Anthropic's eigen wiskundigen, bekeken het werk van Claude om de nieuwe resultaten te begrijpen en te zien hoe deze zich verhielden tot het eerder genoemde voorbereidende werk. Parallel hieraan werkte Claude samen met een andere medewerker, Eric Easley, om een Lean-formalisering van het resultaat te produceren, die door de standaard validatietool comparator is goedgekeurd.
Vooruitgang van AI-modellen in de wiskunde
Dit resultaat laat zien dat AI-modellen zoals Claude de impact en het bereik van ideeën van wiskundigen kunnen uitbreiden op nieuwe en soms verrassende manieren. Hoewel het niet in staat was de Riemann-hypothese zelf op te lossen, ontstond dit resultaat als een onbedoeld bijproduct van het oorspronkelijke verzoek.
Zelfs Claude was verrast door zijn eigen ontdekking—het was aanvankelijk sceptisch, mogelijk omdat het via zijn training heeft geleerd over de moeilijkheidsgraad van open problemen in de wiskunde en over de beperkingen van AI-modellen. Maar na enkele aanmoedigende prompts kwam het tot het resultaat dat we hebben beschreven. Misschien onderschat Claude, net als velen van ons, het tempo van de AI-vooruitgang.
Aanvullende literatuur
Hieronder volgt een lijst met documenten die meer informatie bieden over het resultaat van Claude:
- Het paper van Claude;
- De formalisering van Claude;
- De informele notitie van Anthropic waarin het bewijs beknopter wordt weergegeven;
- De uitleg van Claude over hoe het tot dit resultaat kwam;
- Gedetailleerde transcripties van het proces van Claude.
***
Voetnoten
- Van de 60 subagenten waren er twee verantwoordelijk voor de ontwikkeling van de belangrijkste wiskundige ideeën, droegen 13 agenten ideeën aan bij deze agents, probeerden 30 agenten (zonder succes) nieuwe ideeën te ontwikkelen, dienden 13 agenten als validators om de correctheid van de argumenten te controleren, en hielpen de laatste twee bij het schrijven van het initiële paper.
- Een prompt met soortgelijke aanmoediging werd gebruikt om Claude te helpen de Jacobiaan-conjectuur te weerleggen.
Groetjes,