Principia Mathematica is modern en inzichtelijk

Inleiding

Het bevat mogelijk de eerste vermeldingen van 'domein', 'alpha-renaming' (alfa-hernoeming) en 'type' in de moderne zin. De 'incomplete symbolen' — symbolen die alleen betekenis hebben binnen een specifieke context — anticiperen op continuations en controle-operatoren. Bovendien merkt het werk scherp op dat de begrippen vrije en gebonden variabelen, substitutie, abstractie en applicatie hun oorsprong vinden in de linguïstiek. Men zou kunnen stellen dat Principia de basis voor de lambda-calculus al in zich droeg. Ook lijkt het erop dat Russell en Whitehead het intuïtionisme voorzag; zo hielden zij vast aan aparte notaties voor 'any' (elk/een willekeurige) versus 'all' (alle), ondanks dat ze de equivalentie van deze begrippen binnen hun eigen theorie erkenden.

Het gehele werk is enorm omvangrijk; Principia staat erom bekend dat het duizend pagina's nodig heeft om te bewijzen dat $1+1=2$. Zoals in het voorwoord wordt benadrukt, zijn de bewijzen extreem gedetailleerd om te voorkomen dat er onuitgesproken premissen worden gebruikt. Het doel was om een set zeer fundamentele begrippen voor te stellen en aan te tonen dat deze alleen voldoende zijn voor de gehele wiskunde.

Indien Principia vandaag zou worden gepubliceerd, zouden alle bewijzen waarschijnlijk naar een supplement of een theorem prover (bewijscontroleur) worden verplaatst. Het wezenlijke belang ligt bij de basisbegrippen en de opzet, waarvan het grootste deel wordt uitgelegd in het voorwoord en hoofdstuk 1.

De volgende aantekeningen zijn gemaakt tijdens het lezen van hoofdstuk 1, inclusief aanvullende commentaren van Jacques Carette.

---

Referentiële transparantie en extensionaliteit

Op pagina 8 van Principia staat mogelijk de eerste vermelding in de wiskundige literatuur van intensies en extensies, en wat we nu 'referentiële transparantie' noemen: "if $p \equiv q$ we shall have $f(p) \equiv f(q)$".

Hier is $f(p)$ een propositie die een andere propositie $p$ bevat. In moderne termen zouden we $f$ een context noemen, aangeduid als $C[]$, en stellen dat als $p \equiv q$, dan $C[p] \equiv C[q]$. Dit is de bekende definitie van een referentieel transparante context.

Het boek geeft vervolgens een voorbeeld van een niet-referentieel transparante context: "A gelooft p". Dit is een propositie waarvan de betekenis verandert wanneer $p$ wordt vervangen door een equivalente propositie. Dit voorbeeld verraadt de linguïstische oorsprong van dit concept, specifiek uit het werk van Frege (die in een voetnoot wordt genoemd). Het boek stelt dat "de wiskunde zich altijd bezighoudt met extensies en niet met intensies" (eveneens ontleend aan Frege, maar in Engelse vertaling).

Definities: een typografisch gemak van groot belang

Op pagina 12 stelt het boek dat definities louter 'typografische gemakken' zijn. Tegelijkertijd zijn ze van het grootste belang omdat ze de intentie blootleggen:

"...de definities maken geen deel uit van ons onderwerp, maar zijn, strikt genomen, louter typografische gemakken... Ondanks het feit dat definities theoretisch overbodig zijn, is het niettemin waar dat ze vaak belangrijkere informatie overbrengen dan besloten ligt in de proposities waarin ze worden gebruikt. ... De verzameling definities belichaamt onze keuze van onderwerpen en ons oordeel over wat het belangrijkste is. Ten tweede... bevat de definitie een analyse van een gemeenschappelijk idee, en kan daarom een merkbare vooruitgang uitdrukken."

Propositionele functies: anticipatie van lambda-calculus

Pagina 15 introduceert "propositionele functies", wat we tegenwoordig kennen als lambda-termen. Dit is te zien aan het volgende voorbeeld op de pagina:

"x is gewond" [genoemd als ambigu]

Dit maakt in feite helemaal geen bewering totdat is vastgesteld wie $x$ is. Toch, vanwege de individualiteit die behouden blijft door de ambigue variabele $x$, is het een ambigu voorbeeld uit de verzameling proposities die worden verkregen door alle mogelijke bepalingen aan $x$ in "x is gewond" te geven die resulteren in een propositie (waar of onwaar).

De auteurs introduceren vervolgens de notatie voor die "propositionele functie": $\hat{x}$ is gewond. Hoewel "x is gewond" en "y is gewond" binnen dezelfde context van elkaar onderscheiden kunnen worden, brengen $\hat{x}$ is gewond en $\hat{y}$ is gewond geen enkel verschil in betekenis voort. De paragraaf concludeert: "Algemener gezegd is $\phi x$ een ambigue waarde van de propositionele functie $\phi\hat{x}$, en wanneer een definitieve betekenis $a$ wordt gesubstitueerd voor $x$, is $\phi a$ een onambigue waarde van $\phi\hat{x}$." Hier zien we de concepten vrije variabelen, gebonden variabelen, substitutie en alfa-equivalentie.

Het onderwerp variabelen komt opnieuw terug op pagina 17 bij de bespreking van gekwantificeerde formules:

Het symbool $(x).\phi x$ [in moderne notatie $\forall x.\phi(x)$] duidt één definitieve propositie aan, en er is geen verschil in betekenis tussen $(x).\phi x$ en $(y).\phi y$ wanneer ze in dezelfde context voorkomen.

...

Het symbool $(x).\phi x$ vertoont enige analogie met het symbool $\int_{a}^{b} \phi(x) dx$, aangezien in geen van beide gevallen de uitdrukking een functie van $x$ is. ... De $x$ die voorkomt in $(x).\phi x$ of $(\exists x).\phi x$ wordt (volgens Peano) een "schijnbare variabele" (apparent variable) genoemd.

Hierna volgt de introductie van het begrip variable scope (bereik van de variabele). Wat Principia een 'schijnbare variabele' noemt, is in moderne terminologie een gebonden variabele; een 'reële variabele' wordt nu een vrije variabele genoemd. Het gebruik van een bepaalde integraal om gebonden variabelen en alfa-equivalentie te illustreren is treffend en toont aan dat de lambda-calculus een lange stamboom heeft, waarbij de inzichten van Leibniz bewonderenswaardig zijn.

'Voor elke' versus 'voor alle': een glimp van het Intuïtionisme

Pagina 18 en 19 van Principia behandelen wat we nu schematische variabelen en schematische beweringen noemen, in de vorm: $\vdash f x$

Wanneer we iets beweren dat een reële variabele bevat, zoals bijvoorbeeld $\vdash x = x$, dan beweren we een willekeurige waarde (any value) van de propositionele functie. Wanneer we iets beweren dat een schijnbare variabele bevat, zoals $\vdash (x).x = x$ [wat in moderne notatie is $\vdash \forall x . x=x$], dan beweren we ... alle waarden (all values) van de betreffende propositiefunctie.

Het is duidelijk dat we alleen "een willekeurige waarde" kunnen beweren als alle waarden waar zijn; anders zou de variabele, zodra deze wordt bepaald, namelijk een onware propositie kunnen opleveren. Daarom geldt in het bovenstaande voorbeeld: aangezien we $\vdash x = x$ hebben, mogen we afleiden dat $\vdash (x).x = x$.

De auteurs introduceren vervolgens wat we nu generalisatie noemen, of $\forall$-introductie. (Pagina 20 introduceert de inverse, $\forall$-eliminatie, of zoals Principia het stelt: "wat geldt voor alle, geldt voor elke"). Hoewel een schematische formule ('voor elke') equivalent is aan de overeenkomstige universeel gekwantificeerde formule in de logica van Principia (die later werd gedestilleerd tot wat nu Eerste-Orde Logica wordt genoemd), willen de auteurs deze twee begrippen toch onderscheiden:

De gewone formules van de wiskunde bevatten dergelijke [reële variabele] beweringen; bijvoorbeeld $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ beweert niet dit of dat specifieke geval van de formule, noch beweert het dat de formule geldt voor alle mogelijke waarden van $x$, hoewel dit equivalent is aan deze laatste bewering; het beweert simpelweg dat de formule geldt, waarbij $x$ volledig onbepaald blijft; en het kan dit legitiem doen, omdat ongeacht hoe $x$ wordt bepaald, er een ware propositie uit voortkomt.

Intuïtionistisch standpunt over existentie

Op pagina 20 zegt Principia, na het beschrijven van $\exists$-introductie ($\vdash \phi y \subset (\exists x).\phi x$):

De bovenstaande propositie geeft wat in de praktijk de enige manier is om existentietheorema's te bewijzen: we moeten altijd een specifieke $y$ vinden waarvoor $\phi y$ geldt, en vandaar $(\exists x).\phi x$ afleiden.

Indien we het zogenaamde multiplicatieve axioma zouden aannemen, of het equivalente axioma geformuleerd door Zermelo, zou dat in een belangrijke klasse van gevallen een existentietheorema opleveren waarbij geen enkel specifiek voorbeeld van waarheid gevonden kan worden.

Voor Russell en Whitehead was het vertonen van een 'getuige' (witness) dus de enige praktische manier om existentie te bewijzen. Hiermee hebben zij, wellicht onbewust, een intuïtionistisch of zelfs constructivistisch standpunt ingenomen in 1910.

Jacques Carette merkt op dat Brouwer rond diezelfde tijd publiceerde (hoewel diens geschriften destijds nauwelijks begrijpelijk waren voor wiskundigen; het conflict tussen intuïtionisme en klassieke logica begon pas echt met Hermann Weyl). Jacques merkte verder op dat sommige aspecten van dit constructivisme al dertig jaar eerder terug te vinden zijn bij Kronecker.

Typen

Op pagina 21 schrijven de auteurs, na het vaststellen van de propositie (in moderne notatie) $\vdash \forall x. \phi(x) \wedge \forall x. \psi(x) \Rightarrow \forall x. \phi(x) \wedge \psi(x)$:

"Dit vereist dat $\phi$ en $\psi$ functies moeten zijn die argumenten van hetzelfde type accepteren. (We zullen deze vereiste op een later moment toelichten)."

Dit is zeer actueel; dit was wellicht het eerste gebruik van het woord 'type' in de zin die nu zo gebruikelijk is in programmeren.

Oorsprong van set-membership

Op pagina 26 merken de auteurs op dat het symbool voor verzamelingstoegangsrelatie (set membership) eigenlijk de Griekse epsilon is, de eerste letter van het woord ἐστί — wat naar analogie met het Russisch waarschijnlijk "zijn" betekent. Dus $x \in \text{man}$ betekent letterlijk "x is een man". (Dit betekent niet dat Principia deze notatie als eerste voorstelde; deze was reeds gevestigd).

Descriptieve functies

Pagina 33 bevat waarschijnlijk de eerste moderne definitie van een functie als een specifieke vorm van een binaire relatie: elke binaire relatie $R$ induceert een functie $R'y$ als de unieke $x$ zodanig dat $xRy$ geldt. Er wordt geen beperking opgelegd aan $R$; later wordt echter 'domein' geïntroduceerd als de klasse van die $y$ waarvoor er slechts één $x$ bestaat zodat $xRy$ geldt. Een één-op-veel relatie definieert dus een functie met een leeg domein.

Principia noemt zulke door binaire relaties geïnduceerde functies "descriptieve functies" (nu vaak "definite descriptions" genoemd). De naam en de uiteenzetting volgen de theorie van beschrijvingen in natuurlijke talen die Russell vijf jaar eerder ontwikkelde in zijn beroemde artikel "On denoting" (Mind 14(4), 1905).

Jacques Carette merkte op dat Principia al in 1910 het verschil voorzag tussen "definite description" en "explicit function", omdat er in de wiskunde reeds voorbeelden van waren. "Analytische voortzetting is een van die processen in de wiskunde die functioneel zijn maar geen functie vormen, aangezien het een zekere mate van keuze inhoudt."

---

Referenties

• Principia Mathematica door Alfred North Whitehead en Bertrand Russell. Cambridge: University Press, 1910- $\langle \text{http://name.umdl.umich.edu/AAT3201.0001.001} \rangle$ (Gescand door The University of Michigan Historical Mathematics Collection).
• Linsky, Bernard. The Notation in Principia Mathematica. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2026 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.) $\langle \text{https://plato.stanford.edu/archives/sum2026/entries/pm-notation/} \rangle$.
• Ludlow, Peter. Descriptions. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2023 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.) $\langle \text{https://plato.stanford.edu/archives/win2023/entries/descriptions/} \rangle$.