Negatieve Weerstand

Maar wat betekent het precies? Het concept van negatieve weerstand is interessant, contra-intuïtief en wordt op Wikipedia op een nogal omslachtige manier uitgelegd. Als je er klaar voor bent, denk ik dat we dat beter kunnen doen.

Dit artikel gaat uit van bekendheid met spanning, stroom en het gedrag van operationele versterkers (op-amps).

Definiëren van weerstand

Ter korte herhaling: weerstand ($R$) kan worden begrepen als de tegenwerking van de stroomvloei door een bepaald deel van de schakeling. Deze grootheid beschrijft de relatie tussen de aangelegde elektromotorische kracht — dat is de spanning — en de hoeveelheid lading die per seconde beweegt (dat is de stroom).

In tegenstelling tot sommige andere fenomenen in elektronische schakelingen, is weerstand inherent niet afhankelijk van tijd of signaalfrequentie. Als je de spanning ($V$) weet die op een puur resistief component is aangelegd, is de stroom ($I$) die op dat exacte moment vloeit simpelweg:

$$I = \frac{V}{R}$$

Bij weerstanden blijft deze parameter constant over een breed scala aan bedrijfsomstandigheden. Dit betekent dat als we $I$ uitzetten tegen $V$, we een rechte lijn krijgen die door het midden van het coördinatensysteem loopt. De helling van de lijn hangt alleen af van de weerstand van het component.

Voorbeeld: Bij een weerstand van 5 $\Omega$ is de stroom 200 mA als de spanning over de aansluitingen 1 V is, stijgend naar 1 A als de elektromotorische kracht toeneemt tot 5 V.

Sommige andere componenten, zoals diodes en transistors, werken de stroomvloei tegen op een manier die afhangt van de aangelegde spanning. We kunnen hun gedrag nog steeds modelleren met het concept van weerstand, maar we krijgen geen constante waarde. Als we de effectieve $R$ berekenen door de eerdere vergelijking om te schrijven ($I = V / R \Rightarrow R = V / I$), verkrijgen we een variabele weerstand.

Differentiële weerstand

Voor een gekozen punt op de V-I-curve kunnen we ook de zogenaamde differentiële weerstand berekenen. Deze parameter vertelt ons niets over de algemene relatie tussen spanning en stroom; in plaats daarvan modelleert het de relatieve reactie op kleine afwijkingen van het gekozen oorsprongspunt.

Bijvoorbeeld: in de nabijheid van 1,2 V op een curve kan een verandering van $\Delta v = \pm 20\text{ mV}$ ervoor zorgen dat de stroom verandert met $\Delta i = \pm 27\text{ mA}$. Als we deze delta's delen — $\Delta v / \Delta i$ — krijgen we een waarde die lijkt op een "lokale" weerstand, $r \approx 740\text{ m}\Omega$.

Dit getal heeft niets te maken met de werkelijke weerstand van de diode onder deze bedrijfsomstandigheden (die zou $1,2\text{ V} / 319\text{ mA} \approx 3,8\text{ }\Omega$ zijn). In plaats daarvan geeft het ons een eenvoudige, lineaire benadering van hoe de schakeling zou kunnen reageren op kleine signalen die bovenop een constante bias-spanning liggen, zonder dat we de gehele V-I-curve wiskundig hoeven te modelleren.

Energieverbruik en vermogen

In fysieke termen is echte weerstand geassocieerd met het verbruik van energie. We doen een inspanning om ladingen voort te stuwen; een deel van de energie wordt door het medium geabsorbeerd en vervolgens uit het systeem gehaald — omgezet in warmte, licht, beweging, of vastgelegd in chemische bindingen.

Om deze dynamiek te modelleren, gebruiken we de officiële definitie van spanning. Het is de hoeveelheid energie ($E$, in joule) die we bereid zijn uit te geven om een eenheid elektrische lading ($Q$, in coulomb) te verplaatsen:

$$V = \frac{E}{Q}$$

De definitie van stroom is de hoeveelheid lading die per seconde door een punt in de schakeling beweegt:

$$I = \frac{Q}{t}$$

Door deze formules te combineren ($Q = I \cdot t$ en $E = V \cdot Q$), krijgen we $E = V \cdot I \cdot t$. Ten slotte gebruiken we de fysieke definitie van vermogen ($P$, in watt), wat de snelheid is waarmee energie wordt verbruikt:

$$P = \frac{E}{t}$$

Als we de formule $E = V \cdot I \cdot t$ in de vermogensvergelijking invullen, verkrijgen we:

$$P = \frac{V \cdot I \cdot t}{t} = V \cdot I$$

Dat wil zeggen dat de hoeveelheid elektrische energie die door een elektronische schakeling wordt verbruikt, afhangt van de geleverde spanning en de resulterende stroom. Voor resistieve schakelingen kunnen we $I = V / R$ invullen en krijgen we:

$$P = V \cdot \frac{V}{R} = \frac{V^2}{R}$$

Een resistief element verbruikt dus energie in een tempo dat proportioneel is aan het kwadraat van de aangelegde spanning, en omgekeerd proportioneel aan de weerstand van het component. Een weerstand van 220 $\Omega$ onder spanning van 10 V zal bijvoorbeeld ongeveer 455 mW aan warmte afgeven.

Echte negatieve weerstand

Dit brengt ons bij een interessante vraag: wat zou het betekenen als een component een weerstand van minder dan 0 ohm heeft?

Als $R$ negatief is en $I = V / R$, dan zal het stroom-spanningsdiagram een dalende helling hebben. Bijvoorbeeld, voor $R = -5\text{ }\Omega$ zouden we zien dat wanneer we een positieve spanning aanleggen op een "negistor", we een stroom krijgen die proportioneel is aan de spanning, maar met een tegengesteld teken. De natuurlijke stroomvloei is van de positievere naar de negatievere zijde, maar in dit geval moet de stroom de andere kant op vloeien.

Helaas kan een negistor niet bestaan tenzij deze is uitgerust met een externe voedingsbron. In de formule $P = V^2 / R$ zou een negatieve $R$ betekenen dat het verbruikte vermogen ook negatief is. Dit impliceert dat het component energie uit zijn omgeving moet onttrekken en deze terug in de schakeling moet brengen.

Schakeling voor constante negatieve weerstand

Met een externe voeding kan een schakeling met constante negatieve weerstand relatief eenvoudig worden geconstrueerd met behulp van een operationele versterker (op-amp).

Stel dat we een schakeling hebben waarbij een weerstand $R1$ is geplaatst. Als we aannemen dat $R1$ groot genoeg is zodat de op-amp output-pin en de signaalgenerator de maximale stroom kunnen leveren/absorberen zonder dat de spanningen wegzakken, kunnen we de analyse vereenvoudigen.

De schakeling fungeert als een niet-inverterende versterker. Met een spanningsdeler van 22 k$\Omega$ / 22 k$\Omega$ is de versterkingsfactor zodanig dat de equilibrium-conditie van de op-amp $V{out} \approx 2 \cdot V{signal}$ is.

We kunnen nu de stroom door $R_1$ berekenen:

$$I{R1} = \frac{V{signal} - V{out}}{R1} = \frac{V{signal} - 2 \cdot V{signal}}{R1} = \frac{-V{signal}}{R_1}$$

Deze stroom moet in of uit de signaalbron vloeien. We kunnen de formule herschrijven als:

$$I{in} = I{R1} = \frac{V{signal}}{-R1}$$

In andere woorden: de ingangsstroom is hetzelfde als wanneer we een negatieve weerstand $-R1$ tussen $V{signal}$ en de massa zouden plaatsen.

Deze opstelling heeft een beperking: omdat het proces afhankelijk is van het houden van de output-pin op twee keer de ingangsspanning, raken we uiteindelijk buiten het bereik. In een 5 V-circuit gebeurt dit net onder de 2,5 V. Daarboven is de op-amp verzadigd, neemt de spanning over de terminals van $R_1$ af en bereikt de omgekeerde stroom uiteindelijk nul bij 5 V.

Een mogelijke oplossing is om de spanningsdeler aan te passen voor een lagere versterkingsfactor en vervolgens een proportioneel kleinere $R$ te gebruiken om dezelfde omgekeerde stroom te krijgen. Bijvoorbeeld, met een versterking van 1,1× en $R_1 = 22\text{ }\Omega$ simuleren we nog steeds een weerstand van -220 $\Omega$, maar de schakeling werkt nu tot ongeveer 4 V (ten koste van een iets slechtere lineariteit).

Negatieve differentiële weerstand

Hoewel de eerder besproken opstelling specifieke toepassingen heeft, verwijst "negatieve weerstand" meestal naar een ander fenomeen: een V-I-curve die in sommige delen normaal is, maar een sectie heeft met een dalende helling.

Het simpelste voorbeeld is een situatie waarin een toename van de aangelegde spanning, na een bepaald punt, leidt tot een relatieve beperking van de toegelaten stroom. Deze omgekeerde sectie wordt negatieve differentiële weerstand (NDR) genoemd.

Om de terminologie te begrijpen, herinneren we ons de differentiële weerstand als de "lokale" verhouding van de stapsgewijze verandering in spanning ten opzichte van de stapsgewijze verandering in stroom: $r = \Delta v / \Delta i$. In het dalende gedeelte van de V-I-curve is $\Delta v > 0$ terwijl $\Delta i < 0$, waardoor de differentiële waarde negatief is.

Omdat de "echte" weerstand positief blijft, kunnen dergelijke V-I-knikken optreden zonder extra voeding. Een voorbeeld hiervan is de lambda-diode, bestaande uit twee complementaire JFET's.

De Lambda-diode

In deze schakeling is het drain-source pad van de JFET standaard geleidend, maar de stroomvloei kan worden beperkt door het gate-source spanningsverschil ($V_{GS}$) voldoende negatief te maken (voor n-channel) of positief (voor p-channel).

Als we aannemen dat de transistors identieke kenmerken hebben (op polariteit na) en $V_{mid}$ de spanning in het midden van de schakeling is:

1. De gate van de n-channel transistor is verbonden met de massa: $V{GS \text{ (top)}} = 0\text{ V} - V{mid} = -V_{mid}$.
2. De gate van de p-channel transistor is verbonden met de positieve voeding: $V{GS \text{ (bottom)}} = V{signal} - V_{mid}$.

Omdat de transistors in serie zijn geschakeld, moet er dezelfde stroom door beide vloeien. Dit vereist dat $V{GS \text{ (bottom)}} = -V{GS \text{ (top)}}$, wat leidt tot:

$$V{signal} - V{mid} = V{mid} \Rightarrow V{mid} = V_{signal} / 2$$

Dit zorgt ervoor dat beide transistors in het knipgebied (cut-off) terechtkomen zodra de ingangsspanning ongeveer 8 V overschrijdt. In de regio tussen 5 V en 9 V neemt de toegelaten stroom scherp af, waarbij het traject tussen 7 en 8,5 V vrij lineair is.

Snapback-effect

Een andere vorm van negatieve differentiële weerstand ontstaat wanneer we een gecontroleerde stroom aan een schakeling leveren, maar op een gegeven moment de spanning die nodig is om deze stroom in stand te houden, plotseling keldert. Dit wordt horizontal snapback genoemd.

In dit scenario gedraagt de schakeling zich bijvoorbeeld als een weerstand van 6 $\Omega$ tot een bepaald punt, waarna hij "terugslaat" op de horizontale as; stromen boven ongeveer 1,2 A kunnen dan met een aanzienlijk lagere spanning worden in stand gehouden.

Dit is kwalitatief anders dan de eerdere voorbeelden. Waar we eerder meerdere spanningen hadden die dezelfde stroom konden produceren, hebben we bij snapback meerdere stromen die door dezelfde spanning in stand kunnen worden gehouden. Dit gedrag kan worden waargenomen bij een enkele bipolaire transistor.

***

Aanvullende opmerkingen

Over de inleiding: De bewuste introductie over het basisconcept van weerstand is bedoeld als een minimale recapitulatie van de belangrijkste concepten, aangezien lezers vaak direct beginnen te lezen zonder eerst de aanbevolen basisliteratuur door te nemen.

Over praktische toepassingen:

• Op-amp schakeling: Deze kan worden gebruikt om een resistieve belasting te "annuleren" die is verbonden met een spanningsgestuurde signaalbron. Als je een belasting van 200 $\Omega$ naar de massa hebt en daar een parallelle weerstand van -200 $\Omega$ aan toevoegt, is de gecombineerde parallelle weerstand functioneel een oneindige grootheid ($R = \infty\text{ }\Omega$, oftewel een open circuit).
• Negatieve differentiële weerstand: Dit is tegenwoordig vaker een curiositeit. Ze kunnen worden gebruikt in oscillatoren, maar dat is niet gebruikelijk in moderne architecturen.
• Analyse: Sommige docenten zien overal negatieve weerstanden, omdat je technisch gezien elke voedingsbron en elke lineaire-feedback oscillator als voorbeeld van dit fenomeen kunt analyseren. Dit is echter zelden intuïtief of nuttig.