Drie generaties in E7

Het is mijn derde paper over exceptionele algebraïsche structuren en het Standaardmodel. Wanneer je beroemde objecten in de algebra classificeert — prachtige objecten met chique namen als 'simpele Lie-algebra's', 'Euclidische Jordan-algebra's' en 'positieve hermitische Jordan-paren' — krijg je vaak oneindige series, samen met een paar uitzonderingen die gebouwd kunnen worden met behulp van de octonionen. Dit is nogal spookachtig, en daarom ben ik hier al lange tijd in geïnteresseerd.

Enkele natuurkundigen hopen dat deze uitzonderingen ergens goed voor zijn. Misschien zijn de eigenaardige kenmerken van onze beste theorie over deeltjesfysica, het Standaardmodel, niet toevallig, maar vloeien ze natuurlijk voort uit een exceptionele algebraïsche structuur. Het is een gewaagde aanname, maar we zitten al zo lang vast in het ontdekken van nieuwe fundamentele wetten van de deeltjesfysica — ongeveer sinds het begin van de jaren 80 — dat het een poging waard is.

De weg naar de exceptionele Jordan-algebra

In 2018 merkten Michel Dubois-Violette en Ivan Todorov op dat de ijkgroep van het Standaardmodel voortkomt uit de symmetrieën van de zogenaamde 'exceptionele Jordan-algebra', samen met enkele gewone Jordan-algebra's die daarin passen. Ik heb geprobeerd dit te verduidelijken, met veel hulp van een uitstekende jonge wiskundige:

• John Baez en Paul Schwahn, The Standard Model gauge group from the exceptional Jordan algebra.

Dit is zeer interessant, omdat de betreffende Jordan-algebra's natuurlijk ontstaan wanneer je probeert de fundamenten van de quantumfysica te axiomatiseren. Het zou fantastisch zijn als iets uit de quantumfysica het Standaardmodel wiskundig natuurlijk zou maken.

Echter, dit resultaat betreft enkel de ijkbosonen in het Standaardmodel: het foton, gluonen en de W- en Z-bosonen. Het zegt niets over de fermionen — de quarks en leptonen. En het lijkt behoorlijk moeilijk om die in het plaatje te passen.

In 2020 probeerde Latham Boyle dit probleem op te lossen door de exceptionele Jordan-algebra te tensoren met de complexe getallen. Hierdoor verscheen één generatie fermionen vrij natuurlijk. Maar de connectie met de fundamenten van de quantumfysica leek verloren te gaan; het tensoren van de exceptionele Jordan-algebra met de complexe getallen leek op het eerste gezicht slechts een formele truc.

Dit voorjaar toonden Latham, zijn student Endre Bokor en ik aan dat de connectie met de quantumfysica niet verloren is:

• John Baez, Endre Bokor en Latham Boyle, Jordan pair quantum theory and the Standard Model.

Het idee is om niet met Jordan-algebra's te werken, maar met algemenere structuren genaamd Jordan-paren, die door wiskundigen sinds ten minste 1975 worden bestudeerd. We toonden aan dat je nog steeds quantumfysica kunt bedrijven met Jordan-paren. Daarnaast toonden we aan dat er een 'exceptioneel' Jordan-paar bestaat dat natuurlijk de ijkgroep van het Standaardmodel en één generatie fermionen bevat.

Dit Jordan-paar is gebouwd uit de bioctonionen: de octonionen getensord met de complexe getallen. Het is nauw verwant aan een exceptionele Lie-algebra genaamd $E7$. Dit is gunstig, omdat het werk van Dubois-Violette en Todorov gebruikmaakte van een kleinere exceptionele Lie-algebra genaamd $F4$. Door over te stappen naar $E_7$ ontstaat er ruimte om één generatie fermionen op te nemen.

Er is een nog grotere exceptionele Lie-algebra die gebruikt kan worden om een Jordan-paar te bouwen: $E8$. Bokor, Boyle en ik probeerden dit te gebruiken om drie generaties fermionen te verkrijgen. Er zijn zaken die dit aantrekkelijk maken: niet alleen het feit dat $E8$ groter is, maar ook dat het Jordan-paar dat je eruit haalt een soort drievoudige symmetrie heeft. Maar we kregen het niet werkend.

De invloed van Benjamin Nasmith

Rond die tijd raakte ik zeer geïnteresseerd in werk dat iemand mij in oktober 2025 had gestuurd. Mijn inbox zit vol met nieuwe natuurkundige theorieën; sinds de opkomst van grote taalmodellen is de instroom toegenomen. Ik krijg dagelijks ongeveer twee e-mails van mensen die beweren een revolutionaire ontdekking in de fysica te hebben gedaan. Praktisch geen van deze theorieën spreekt me aan. Maar dit paper en deze thesis waren anders:

• Benjamin Nasmith, An exceptional combinatorial sequence and Standard Model particles, 2020.
• Benjamin Nasmith, Tight Projective 5-Designs and Exceptional Structures, PhD-thesis, Royal Military College of Canada, 2023.

Hij claimde drie generaties fermionen in de exceptionele Lie-algebra $E_7$ te passen. Toen ik serieus probeerde dit paper te begrijpen, eindigde ik ermee het te vertalen naar een taal waarin ik me comfortabeler voel en de ideeën iets verder uit te breiden. Daarom schreef ik dit:

• John Baez, Three generations in $E_7$.

Het kernidee

Hier is het basisconcept:

Er is een standaardmanier om de Lie-algebra van de ijkgroep van het Standaardmodel, die ik $\mathfrak{g}{SM}$ noem, in de Lie-algebra $\mathfrak{e}7$ te passen. Je kunt een Lie-algebra $\mathfrak{g}$ construeren die daar tussenin past:

Als vectorruimte hebben we: $$\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{SM} \oplus V$$ waarbij $V$ een vectorruimte is van dimensie 192.

Bovendien werkt de Lie-algebra $\mathfrak{g}$ op $V$, via de Lie-bracket, precies zoals zij werkt op drie generaties fermionen van het Standaardmodel en hun antipartikels, inclusief één rechts-handige neutrino en zijn antipartikel — maar dan zonder spin!

Er is in feite een zeer interessante drievoudige symmetrie ingebouwd in $\mathfrak{g}$ die zichtbaar wordt wanneer we de Lie-algebra van het Standaardmodel $\mathfrak{g}_{SM}$ erin plaatsen. Deze symmetrie permuteert de drie generaties.

Net als Nasmith stel ik geen natuurkundige theorie voor. Ik observeer enkel een fascinerend wiskundig patroon dat mogelijk (of mogelijk niet) van nut kan zijn in de natuurkunde.

Er zijn veel zaken die dit patroon niet bevat: in feite alles wat ik nog niet heb genoemd. Het bevat niet de spin van de fermionen en ijkbosonen. Het bevat niet het Higgsboson, hoewel het daar in zekere zin dichtbij komt (zie de paper). Het bevat geen Lagrangiaan, dus het zegt helemaal niets over de massa's of interacties van deeltjes.

Ik zou veel meer kunnen zeggen over dit onderwerp, met name over waar deze Lie-algebra $\mathfrak{g}$ vandaan komt. De details zijn zeer interessant, evenals de vreemde rol van de rechts-handige neutrino's. Maar ik heb al weken besteed aan het uitleggen van deze zaken in mijn paper, dus ik doe dat hier niet. In plaats daarvan vertel ik kort over hoe ik de paper heb geschreven.

Het schrijfproces en de rol van AI

Ik wilde bijhouden hoe AI de wiskunde transformeert. Ongeveer een jaar geleden gaf een vriend me een abonnement op Claude Pro. Ik wilde het uitproberen, ondanks mijn vele twijfels, waaronder de manier waarop grote taalmodellen bijdragen aan de opwarming van de aarde en inkomensongelijkheid. Gezien de verbazingwekkende dingen die mensen recent in de wiskunde hebben gedaan met behulp van grote taalmodellen, dacht ik dat het niet verstandig zou zijn om ze nooit te proberen als ik goede beslissingen over de toekomst wil nemen.

Ik heb deze paper dus geschreven met hulp van Claude Opus 4.8. Ik begon door het paper van Nasmith in het model te laden en over meerdere dagen een lange reeks vragen over dat paper te stellen. De resultaten waren zeer interessant en behulpzaam. Uiteindelijk vroeg ik het model om ons gesprek samen te vatten en uit te breiden. Het spuugde snel een paper van tien pagina's uit.

Dit document was geschreven in een vlotte, prettige stijl, maar was in detail ook vrij moeilijk te begrijpen, omdat het de terminologie van Nasmith mengde met de Lie-algebra-terminologie die ik prefereer, en omdat de bewijzen sommige stappen oversloegen.

Het kostte me ongeveer drie weken hard werken om alle ideeën volledig te begrijpen en ze uit te drukken op een manier die ik prettig vind. Een tijdje voelde ik me dom en gefrustreerd, want wanneer ik Claude vroeg om de gaten in de bewijzen in te vullen, gebruikte het wiskunde waar ik niet erg bekwaam in was, zoals de theorie van reguliere sub-algebra's en de theorie van minuscule representaties. Maar ik heb deze wiskunde geleerd, en alles bleek in essentie correct te zijn — mede omdat het oorspronkelijke werk van Nasmith correct was.

Verschillende weken lang heb ik dit materiaal gecontroleerd, gereorganiseerd, uitgebreid en volledig herschreven. Uiteindelijk is alles geschreven in een stijl die ik prettig vind, met nadruk op de ideeën die ik belangrijk acht, zorgvuldige bewijzen en veel toelichtende informatie — zoals het uitleggen van de theorie van reguliere sub-algebra's.

Er zijn bijna geen sporen overgebleven van de oorspronkelijke tekst van Claude, hoewel ik er diep door beïnvloed ben. Mijn bewijzen verwijzen zelden naar diepe stellingen, hoewel ze een solide kennis van simpele Lie-algebra's en hun wortelsystemen veronderstellen. De bewijzen vereisen geen brute berekeningen, hoewel Claude zeer happig was om dergelijke berekeningen uit te voeren om zaken te controleren.

Eventuele fouten in dit paper zijn voor mijn eigen rekening.

Ik weet niet zeker welke conclusies ik trek uit het schrijven van deze paper. Ik schrijf nu aan een andere wiskundige paper met een menselijke co-auteur, en ik heb geen behoefte om hulp te krijgen van een groot taalmodel. Voor mijn eigen werk zou het zeer nuttig kunnen zijn. Jacob Tsimerman zegt dat het zijn productiviteit ongeveer verdubbelt. Zou het gebruik ervan zo slecht zijn voor het milieu of de samenleving dat ik het zou moeten vermijden? Misschien. Ik hield me bewust bij Claude Opus 4.8 in plaats van iets krachtigers, om te zien wat ik kon bereiken met een abonnement van $20 per maand. Maar misschien is dat nog steeds problematisch.

Ik vermijd vliegen naar conferenties, wat mijn vermogen om bij te blijven met nieuwe trends en mensen te beïnvloeden in zekere zin beperkt — maar dat vind ik niet erg. Het geeft me meer tijd om na te denken.

Ik zal zorgvuldig nadenken over mijn volgende stap.