Eindige tijd-blowup voor een gemiddelde driedimensionale Navier-Stokes-vergelijking

Ik heb zojuist het artikel "Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation" geüpload naar arXiv, ingediend bij het J. Amer. Math. Soc. Het hoofddoel van dit artikel is om de "supercriticaliteitsbarrière" voor het probleem van de mondiale regulariteit voor de Navier-Stokes-vergelijking te formaliseren. In essentie stelt deze barrière dat het niet mogelijk is om mondiale regulariteit vast te stellen via een "abstracte" benadering die uitsluitend gebruikmaakt van bovengrens-functieruimteschattingen voor het niet-lineaire deel van de vergelijking, in combinatie met de energie-identiteit.

Dit wordt aangetoond door een modificatie van de Navier-Stokes-vergelijkingen te construeren met een niet-lineariteit die in wezen aan alle functieruimteschattingen voldoet waaraan de werkelijke Navier-Stokes-niet-lineariteit voldoet, en die ook voldoet aan de energie-identiteit, maar waarvoor oplossingen kunnen worden geconstrueerd die in eindige tijd "blowen" (een singulariteit bereiken).

Resultaten van dit type waren eerder vastgesteld door Montgomery-Smith, Gallagher-Paicu en Li-Sinai voor varianten van de Navier-Stokes-vergelijking zonder de energie-identiteit, en door Katz-Pavlovic en Cheskidov voor dyadische analogen van de Navier-Stokes-vergelijkingen in vijf of meer dimensies die wél aan de energie-identiteit voldeden (zie ook het werk van Plechac en Sverak, en van Hou en Lei). Voor zover ik weet is dit echter het eerste blowup-resultaat voor een Navier-Stokes-type vergelijking in drie dimensies die ook aan de energie-identiteit voldoet. Intrigerend is dat de bewijsmethode in feite wijst op een mogelijke route om blowup vast te stellen voor de werkelijke Navier-Stokes-vergelijkingen, iets waarvan ik inmiddels steeds sterker geloof dat het geval is (al dan niet voor een zeer kleine set initiële data).

De wiskundige context

Om de resultaten preciezer te formuleren, herinneren we ons dat de Navier-Stokes-vergelijkingen geschreven kunnen worden in de vorm:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla) u = \Delta u - \nabla p$$

voor een divergentievrij snelheidsveld $u$ en een drukveld $p$, waarbij de viscositeit is genormaliseerd naar één. We werken in een niet-periodieke setting, dus het ruimtelijke domein is $\mathbb{R}^3$. Door de Leray-projectie $\mathbb{P}$ toe te passen op divergentievrije vectorvelden, kunnen we de druk elimineren en een evolutievergelijking verkrijgen die puur voor het snelheidsveld geldt:

$$\partial_t u + \mathbb{P}(u \cdot \nabla u) = \Delta u \quad (1)$$

waarbij $\mathbb{P}(u \cdot \nabla u)$ kan worden geschreven als een bilineaire operator $B(u, u)$. Het probleem van de mondiale regulariteit voor Navier-Stokes is equivalent aan het probleem van de mondiale regulariteit voor de evolutievergelijking (1).

Een belangrijk kenmerk van de bilineaire operator $B$ in (1) is de annuleringswet (met gebruik van het $L^2$-inproduct op divergentievrije vectorvelden), wat in het bijzonder leidt tot de fundamentele energie-identiteit:

$$\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \|u\|{L^2}^2 = -\|\nabla u\|{L^2}^2$$

Deze identiteit (en de gevolgen ervan) biedt in wezen de enige bekende a priori-grens voor oplossingen van de Navier-Stokes-vergelijkingen bij grote data en willekeurige tijden. Helaas zijn de grootheden die door de energie-identiteit worden gecontroleerd "superkritisch" met betrekking tot schaling. Dit is het fundamentele obstakel dat alle pogingen heeft gedwarsboomd om de mondiale regulariteit voor Navier-Stokes op te lossen zonder aanvullende aannames over de data of de oplossing (zoals perturbatieve hypothesen of a priori controle over een kritieke norm, zoals de $L^3$-norm).

Het hoofdresultaat

Ons hoofdresultaat kan (iets informeel) als volgt worden geformuleerd:

Theorema 1: Er bestaat een gemiddelde versie $B{avg}$ van de bilineaire operator $B$, van de vorm: $$B{avg}(u, v) = \int\Omega \sum{j=1}^N Rj \mathbb{P}(Mj u \cdot \nabla Mj v) \, d\mu(\omega)$$ voor een waarschijnlijkheidsruimte $\Omega$, ruimtelijke rotatie-operatoren $Rj$ en Fourier-multiplicatoren $Mj$ van orde 0, waarvoor nog steeds de annuleringswet geldt en waarvoor de gemiddelde Navier-Stokes-vergelijking: $$\partialt u + B_{avg}(u, u) = \Delta u$$ oplossingen toelaat die in eindige tijd blowup vertonen.

Omdat ruimtelijke rotaties en Fourier-multiplicatoren van orde 0 begrensd zijn op de meeste functieruimtes, voldoet $B{avg}$ automatisch aan bijna alle bovengrens-schattingen waaraan $B$ voldoet. Hiermee blokkeert dit theorema elke poging om mondiale regulariteit voor de werkelijke Navier-Stokes-vergelijkingen te bewijzen die puur vertrouwt op de energie-identiteit en op bovengrens-schattingen voor de niet-lineariteit. Men moet gebruikmaken van aanvullende structuren van de niet-lineaire operator $B$ die niet gedeeld worden door een gemiddelde versie $B{avg}$.

Dergelijke aanvullende structuren bestaan zeker. De Navier-Stokes-vergelijking heeft bijvoorbeeld een vorticiteitsformulering die alleen differentiële operatoren bevat in plaats van pseudodifferentiële operatoren, terwijl een algemene vergelijking van de vorm (2) dat niet heeft. "Abstracte" benaderingen van mondiale regulariteit maken echter over het algemeen geen gebruik van dergelijke structuren en kunnen daarom het Navier-Stokes-probleem niet bevestigend beantwoorden.

Implementatie en de "vloeistofcomputer"

De specifieke gemiddelde bilineaire operator $B_{avg}$ die we gebruiken, is een eindige lineaire combinatie van lokale cascade-operatoren. Deze operatoren hebben essentieel dezelfde schalingseigenschappen als $B$.

Wanneer we niet-lineariteiten beschouwen die een eindige lineaire combinatie zijn van lokale cascade-operatoren, reduceert de vergelijking (2) grotendeels tot een systeem van ODE's (gewone differentiaalvergelijkingen) in bepaalde "wavelet-coëfficiënten" van $u$. Katz en Pavlovic gebruikten een model dat leidde tot het systeem: $$\frac{d un}{dt} = - \nu n^2 un + \sum{j+k=n} \lambda{j,k} uj uk$$ waar $u_n$ scalaire velden zijn voor elke integer $n$. De kwadratische termen aan de rechterkant hebben een hogere exponent van $n$ dan de dissipatieterm, wat de superkritieke aard van deze evolutie weerspiegelt.

Om blowup in drie dimensies te bereiken, moest ik een ODE-systeem "engineeren" waarbij de cascade van energie van schaal $n$ naar schaal $n+1$ niet werd onderbroken door de cascade van schaal $n+1$ naar schaal $n+2$. Hiervoor was een vertraging in het cascadeproces nodig, maar het proces moest ook abrupt zijn: zodra de energietransfer begon, moest deze zeer snel worden voltooid voordat de vertraagde transfer voor de volgende schaal in werking trad.

Ik ontdekte dat men een "kwadratisch circuit" kon bouwen uit basis "kwadratische poorten" (vergelijkbaar met hoe een elektrisch circuit wordt gebouwd uit versterkers of weerstanden) om deze taak te volbrengen. Dit leidde tot een ODE-systeem waarbij de tijd tussen cascades van de ene frequentieschaal naar de volgende exponentieel afneemt, wat leidt tot blowup op een eindig tijdstip $T^*$.

Implicaties voor de werkelijke Navier-Stokes-vergelijkingen

Er is een reële (hoewel kleine) mogelijkheid dat dit soort constructies kunnen worden aangepast aan de werkelijke Navier-Stokes-vergelijkingen. Het basismechanisme van de blowup in de gemiddelde vergelijking is dat van een von Neumann-machine: een construct dat, na een bepaalde vertraging, erin slaagt plotseling een replica van zichzelf te creëren op een fijnere schaal (en daarbij zijn oorspronkelijke instantie grotendeels uitwist).

In principe zou zo'n von Neumann-machine ook gebouwd kunnen worden uit de wetten van de onvisceuze vorm van de Navier-Stokes-vergelijkingen (de Euler-vergelijkingen). In fysieke termen zou men de machine puur moeten bouwen uit een ideaal vloeistof (een onvisceuze, onsamendrukbare vloeistof). Als men voldoende "logische poorten" uit een ideaal vloeistof zou kunnen creëren, zou men in wezen een soort "vloeistofcomputer" kunnen bouwen. Op dat punt zou de taak om een von Neumann-machine te bouwen reduceren tot een software-engineering-oefening in plaats van een PDE-probleem (mits de poorten stabiel genoeg zijn tegenover perturbaties).

Het ontbrekende stuk in dit programma om blowup voor Navier-Stokes vast te stellen, is de constructie van deze logische poorten binnen de wetten van ideale vloeistoffen. Ter vergelijking: bij cellulaire automaten zoals Conway's "Game of Life" zijn Turing-complete computers, universele constructoren en replicatoren allemaal gebouwd binnen de regels van dat spel.