De kleuren van een zeepfilm

De kleur bij een dikte $d$ vloeit voort uit twee elementen: het fractie van het licht dat de film reflecteert bij elke golflengte $\lambda$, en de drie kleurmatchingsfuncties die de CIE (International Commission on Illumination) gebruikt om een spectrum te reduceren tot een kleur. De eerste is een enkele cosinus in $1/\lambda$, waardoor de kleur een vast wit is minus de cosinustransformatie van de kleurmatchingsfuncties, geëvalueerd bij $2nd$, het extra optische pad dat licht aflegt dat wordt gereflecteerd door het achteroppervlak van de film, waarbij $n$ de brekingsindex van water is. De berekende kleuren komen overeen met de tabel van diktes die Newton hiervoor heeft samengesteld.

Het gereflecteerde spectrum als cosinus

Beschouw licht met golflengte $\lambda$ dat loodrecht op de film reist, loodrecht op de twee oppervlakken. Twee stralen keren terug naar het oog. De ene wordt gereflecteerd door het vooroppervlak. De andere steekt door de film, wordt gereflecteerd door het achteroppervlak en steekt opnieuw door de film.

Licht is een elektromagnetische golf: een elektrisch veld en een magnetisch veld die samen oscilleren terwijl de golf reist. De amplitude van een straal is de grootte van de oscillatie van het elektrische veld, en de helderheid van de straal is proportioneel aan het kwadraat van de amplitude.

Alle stralen reizen langs dezelfde lijn, loodrecht op de film. De straal van het achteroppervlak is de straal van het vooroppervlak omgekeerd, en loopt achter op de straal van het vooroppervlak met een afstand $\tau$. Het licht dat het oog bereikt, is de som van de twee golven.

Reflectie per oppervlak

Wanneer licht loodrecht op een oppervlak reist, liggen zowel het elektrische als het magnetische veld parallel aan het oppervlak. In een medium met brekingsindex $n$ is de amplitude van het magnetische veld proportioneel aan $n$ maal de amplitude van het elektrische veld.

Stel dat een straal met amplitude $1$ overgaat van een medium met index $n1$ naar een medium met index $n2$. Deze splitst zich in een gereflecteerde straal met amplitude $r$ en een getransmitteerde straal met amplitude $t$. De vergelijkingen van Maxwell vereisen dat elk veld aan beide zijden van de grens dezelfde waarde aanneemt. Voor het elektrische veld luidt deze voorwaarde: $1 + r = t$. Voor het magnetische veld luidt de voorwaarde: $n1(1 - r) = n2t$.

Het oplossen van deze twee vergelijkingen geeft de Fresnel-coëfficiënten voor normale inval: $$r = \frac{n1 - n2}{n1 + n2}, \qquad t = \frac{2n1}{n1 + n_2}$$

In de zeepfilm is de index $1$ voor lucht en $n$ voor water. Bij het vooroppervlak gaat het licht van lucht naar water, dus $r = (1-n)/(1+n)$ en $t = 2/(1+n)$. Voor $n = 1,33$ is $r = -0,142$. Bij het achteroppervlak gaat het licht van water naar lucht. De twee indices wisselen van plaats, waardoor de reflectiecoëfficiënt $(n-1)/(n+1) = -r$ wordt. De twee reflecties hebben dus opposite tekens. Op weg naar buiten gaat de straal van het achteroppervlak door het vooroppervlak van water naar lucht, met transmissiecoëfficiënt $t' = 2n/(1+n)$. Deze straal wordt getransmitteerd, gereflecteerd en opnieuw getransmitteerd, zodat hij terugkeert met amplitude: $$t(-r)t' = -r \cdot \frac{4n}{(1+n)^2} = -r(1 - r^2)$$

Voor water is $1 - r^2 = 0,98$. Hierna wordt $0,98 \approx 1$ aangenomen, wat de amplitude van de straal van het achteroppervlak met 2% verandert, waardoor de twee terugkerende stralen amplitudes $r$ and $-r$ hebben.

Faseverschil

De straal van het achteroppervlak legt een extra afstand $2d$ af in het water, waar de golflengte verkort naar $\lambda/n$. Hij loopt daarom achter op de straal van het vooroppervlak met $2d/(\lambda/n) = \tau/\lambda$ golflengten, waarbij: $$\tau = 2nd$$ de optische weglengteverschil tussen de twee stralen is. In lucht, waar de golflengte $\lambda$ is, is dit een afstand $\tau$. Elke golflengte vertraging is één volledige cyclus van de oscillatie, dus de golf van het achteroppervlak is in zijn cyclus verschoven met de hoek $\phi = 2\pi\tau/\lambda$. Deze hoek wordt het faseverschil genoemd.

Twee golven met verschillende fasen worden opgeteld door elke golf te schrijven als een complex getal waarvan de magnitude de amplitude is en de hoek de fase. Een verschuiving met hoek $\phi$ vermenigvuldigt het complex getal met $e^{i\phi}$. Het door de film gereflecteerde licht heeft daarom een amplitude van: $$r - r e^{i\phi} = r(1 - e^{i\phi}), \qquad \phi = \frac{2\pi\tau}{\lambda}$$

De reflectantie $R$ is het fractie van het inkomende licht dat de film reflecteert. Helderheid is proportioneel aan het kwadraat van de amplitude, dus $R$ is de gekwadrateerde magnitude van dit complex getal. Aangezien $|1 - e^{i\phi}|^2 = (1 - \cos\phi)^2 + \sin^2\phi = 2 - 2\cos\phi$, geldt: $$R(\lambda) = 2r^2(1 - \cos\frac{2\pi\tau}{\lambda}) = 4r^2 \sin^2(\frac{\pi\tau}{\lambda})$$

Bij een constante $n = 1,33$ over het zichtbare spectrum is $r^2 = 0,0201$, dus $R$ ligt tussen $0$ en $4r^2 = 8,0\%$. In het golfgetal $\sigma = 1/\lambda$ is $R = 2r^2(1 - \cos 2\pi\sigma\tau)$ een enkele cosinus met periode $1/\tau$. Licht kan ook meerdere keren heen en weer stuiteren in de film voordat het vertrekt. Het optellen van al deze reflecties geeft de exacte Airy-formule. De hogere harmonischen $\cos(2\pi k\sigma\tau)$ voor gehele getallen $k \ge 2$ krimpen met een factor $r^2 \approx 0,02$ per stap, waardoor de formule met twee stralen binnen ongeveer 4% van de exacte waarde blijft.

Drie getallen uit een spectrum

Voor de CIE 1931 standaardwaarnemer wordt licht met spectrale kracht $P(\lambda)$ beschreven door drie tristimuluswaarden: $$X = \int P\bar{x}d\lambda, \qquad Y = \int P\bar{y}d\lambda, \qquad Z = \int P\bar{z}d\lambda$$ waarbij $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ de getabelleerde kleurmatchingsfuncties zijn. Twee lichten met dezelfde $(X, Y, Z)$ zien er voor de standaardwaarnemer identiek uit. Aangezien $\bar{y}$ de gevoeligheid van het oog voor helderheid is, is $Y$ de luminantie. Licht gereflecteerd door de film heeft $P = SR$ voor een lichtbron met spectrum $S$. Er wordt gebruikgemaakt van D65, de standaardrepresentatie van gemiddeld daglicht van de CIE, genormaliseerd zodat een perfecte reflector het witte punt $W = (0,950, 1, 1,089)$ heeft. De sRGB-standaard specificeert de $3 \times 3$ matrix en de coderingscurve die $(X, Y, Z)$ omzetten naar de kleur die een scherm weergeeft.

De kleur als cosinustransformatie

Door $R$ in de drie integralen te substitueren en de variabelen te wijzigen naar $\sigma = 1/\lambda$, kunnen drie wegingscurves op de as van het golfgetal worden gedefinieerd: $$wx(\sigma)d\sigma = \frac{S(\lambda)\bar{x}(\lambda)d\lambda}{\int S\bar{y}d\lambda}$$ en analoge definities voor $wy$ en $wz$, zodat hun integralen de drie componenten van $W$ zijn. Met $w = (wx, wy, wz)$ zijn de tristimuluswaarden van de film: $$\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}(d) = 2r^2(W - \hat{c}(\tau)), \qquad \hat{c}(\tau) = \int w(\sigma)\cos(2\pi\sigma\tau)d\sigma, \qquad \tau = 2nd$$

De vector $\hat{c}(\tau)$ is de cosinustransformatie (het reële deel van de Fourier-transformatie) van de drie wegingscurves, geëvalueerd bij het weglengteverschil.

De zwarte film

Bij $d = 0$ is de cosinus bij elke golflengte gelijk aan $1$, dus $\hat{c}(0) = W$ en de film reflecteert niets: de twee reflecties heffen elkaar precies op. Voor kleine $d$ is $R(\lambda) \approx 4r^2(\pi\tau/\lambda)^2$ proportioneel aan $1/\lambda^2$, waardoor het eerste licht dat door een dunne film wordt gereflecteerd, zwaarder weegt naar korte golflengten. De chromaticiteit in de CIE-coördinaten $(x, y) = (X, Y)/(X+Y+Z)$ is $(0,266, 0,281)$, wat blauwer is dan het witte punt op $(0,313, 0,329)$. Dit blauwgrijs is het zwakke blauw dat Newton opsomt direct na zwart. Bij $d = 10$ nm reflecteert de film $0,18\%$ van het licht, wat minder dan een tiende is van de $2\%$ gereflecteerd door een enkel wateroppervlak, maar niet nul; Newton kon "de beelden van sommige dingen (zoals een kaars of de zon) zeer zwak gereflecteerd" zien vanuit de zwarte vlek.

De ordes

De luminantie $Y = 2r^2(1 - \hat{c}y(\tau))$ is het kleinst wanneer de golflengten in het centrum van $wy$ worden uitgedoofd, dat wil zeggen wanneer $\tau$ een veelvoud is van $\bar{\lambda} = 554$ nm, het reciproque van het gemiddelde golfgetal van $w_y$. De berekende minima liggen bij $d = 207, 416, 626$ en $837$ nm, gescheiden door $\bar{\lambda}/2n = 208$ nm. Omdat het midden van het spectrum is verwijderd, blijven rood en blauw licht over, en deze paarse banden scheiden de ordes: de tweede en derde ordes lopen door blauw, groen, geel en rood, en vanaf de vierde orde wisselen groen en roze elkaar af en worden ze bleker.

In de eerste orde beweegt de piek van $R$ bij $\lambda = 2\tau$ van het ultraviolet naar de zichtbare band. Bij $d = 104$ nm bevindt deze zich op $553$ nm, blijft $R$ over de hele band boven de helft van het maximum, en is de film wit. Het nulpunt van $R$ bij $\lambda = \tau$ komt bij $d = 143$ nm de band binnen, wat de film geel en daarna rood maakt, en bereikt het groen bij $d = 208$ nm. Het chromaticiteitspad gaat in elk van de eerste drie ordes één keer rond het witte punt. Daarna schommelt het tussen de groene en roze zijden van het witte punt, met een afstand die in elke orde na de tweede afneemt.

Het vervagen van de kleuren naar wit

Naarmate $d$ groeit, gaat $\hat{c}(\tau) \to 0$ volgens het Riemann-Lebesgue lemma (de Fourier-transformatie van een integreerbare functie neigt naar nul in het oneindige). Een dikke film reflecteert dus de kleur van de lichtbron zelf bij $2r^2 \approx 4\%$, de reflectantie van twee wateroppervlakken waarvan de reflecties optellen zonder interferentie. De cosinus in $R$ heeft een periode $1/\tau$ in $\sigma$, en de zichtbare band bevat $\tau(1/380 - 1/780)\text{ nm}^{-1}$ van zijn perioden: $1,8$ bij $d = 0,5\ \mu\text{m}$ en $5,4$ bij $d = 1,5\ \mu\text{m}$. Een wegingscurve die meerdere perioden overspant, middelt de cosinus tot bijna nul.

De breedtes van de wegingscurves bepalen de snelheid van het verval. Door $wy$ te vervangen door een Gaussische verdeling met dezelfde gemiddelde $\bar{\sigma} = 1/\bar{\lambda}$ en standaarddeviatie $s$, verkrijgt men: $$\hat{c}y(\tau) \approx \cos(2\pi\bar{\sigma}\tau) e^{-2\pi^2 s^2 \tau^2}$$ de oscillatie die de ordes produceert, onder een Gaussische envelop. Voor de getabelleerde D65 en $\bar{y}$ is $s = 0,136\ \mu\text{m}^{-1}$, en de envelop daalt tot $1/e$ bij $\tau = 1/(\sqrt{2}\pi s) = 1,65\ \mu\text{m}$, een dikte van $0,62\ \mu\text{m}$. De modulus van de exacte transformatie van de getabelleerde curve blijft tot $d = 1,2\ \mu\text{m}$ binnen $0,032$ van deze envelop. Berekend uit de formule blijft de chromaticiteit binnen $0,03$ van het witte punt voor elke $d \ge 1,25\ \mu\text{m}$ en binnen $0,01$ voor elke $d \ge 1,61\ \mu\text{m}$.

De tabel van Newton

Newton mat de gekleurde ringen in de dunne luchtfilm tussen twee tegen elkaar gedrukte lenzen en stelde een tabel op van de dikte "waarbij elke kleur het meest intens en specifiek is", in miljoensten van een inch, voor films van lucht, water en glas. Geselecteerde vermeldingen van zijn waterkolom, omgezet naar $25,4$ nm per miljoenste van een inch, naast de berekende kleur bij die dikte:

Orde	Kleur Newton	Newton ($10^{-6}$ in)	$d$ (nm)	Berekend
1ste	wit	$3\frac{7}{8}$	98	wit
1ste	geel	$5\frac{1}{3}$	135	geel
1ste	rood	$6\frac{3}{4}$	171	rood
2de	violet	$8\frac{3}{8}$	213	violet
2de	blauw	$10\frac{1}{2}$	267	blauw
2de	groen	$11\frac{2}{3}$	296	groen
3de	purper	$15\frac{3}{4}$	400	purper
3de	groen	$18\frac{9}{10}$	480	groen
4de	groen	$26\frac{1}{2}$	673	groen
7de	roodachtig wit	$57\frac{3}{4}$	1467	roze-wit

De helderste berekende film bij $104$ nm komt overeen met Newtons wit van de eerste orde bij $98$ nm. Zijn violet van de tweede orde bij $213$ nm ligt naast het eerste luminantieminimum bij $207$ nm, en zijn laatste vermelding, het roodachtig wit van de zevende orde bij $1467$ nm, komt uit als een roze-wit nabij het witte punt.

Newton bekeek de bel ook schuin. Bij een hoek $\theta$ ten opzichte van de normaal in de film is het weglengteverschil $2nd\cos\theta$, waardoor een kleur gezien bij dikte $d$ bij normale inval verschijnt waar de film $d/\cos\theta$ dik is. De wet van Snell geeft $\sin\theta \le 1/n$, dus de grootste factor, bij grazing incidence, is $n/\sqrt{n^2-1} = 1,52$ voor water. Newtons ratio voor zijn meest schuine blik: "Volgens mijn beste observaties lag dit tussen 15 en 15-1/2 tot 10."

De Michel-Lévy kaart

Een plaat van een dubbelbrekend kristal tussen gekruiste polarisatoren, onder een hoek van 45° ten opzichte daarvan, transmitteert de fractie $\sin^2(\pi\Gamma/\lambda)$ van het gepolariseerde licht, waarbij de retardatie $\Gamma$ het optische weglengteverschil is tussen de twee polarisaties van de plaat. Dit is $R/4r^2$ met $\Gamma = \tau$, waardoor de kleurvolgorde ook de interferentiekleurkaart is die mineralogen gebruiken om mineralen in dunne secties te identificeren, met $2nd$ als de retardatie. Sørensen (2013) heeft die kaart opnieuw berekend vanuit eerste beginselen.

Referenties

• Isaac Newton. Opticks: or, a Treatise of the Reflections, Refractions, Inflections and Colours of Light. Londen, 1704. Vierde editie, 1730. Boek II, Deel I, Observaties 17–19 over zeepbellen, en Deel II, de tabel van diktes van gekleurde platen.
• Max Born en Emil Wolf. Principles of Optics, 7de editie. Cambridge University Press, 1999. Hoofdstuk 7: twee-straalinterferentie in een vlak-parallelle plaat (§7.5) en meer-straalinterferentie (§7.6).
• CIE. Colour-matching functions of CIE 1931 standard colorimetric observer. Dataset, 2019, uit ISO/CIE 11664-1:2019.
• CIE. CIE standard illuminant D65. Dataset, 2019, uit ISO/CIE 11664-2:2022.
• IEC 61966-2-1:1999. Multimedia systems and equipment – Colour measurement and management – Part 2-1: Colour management – Default RGB colour space – sRGB.
• Bjørn Eske Sørensen. A revised Michel-Lévy interference colour chart based on first-principles calculations. European Journal of Mineralogy, 25(1):5–10, 2013.