Het artikel onderzoekt de claim dat Robert Guilbert Sr. een 'oneindige' kruiswoordpuzzel genaamd Pago Pago uitvond, terwijl de auteur vermoedt dat dit een misverstand is dat in diverse publicaties is overgenomen. De tekst gaat vervolgens dieper in op de topologische uitdagingen: omdat een Möbiusband niet-oriënteerbaar is, worden letters gespiegeld zodra men een volledige ronde maakt. Om dit wiskundig op te lossen, stelt de auteur voor om letters te gebruiken die verticaal symmetrisch zijn of elkaars spiegelbeeld vormen (zoals W en E). Het artikel concludeert met een eigen experimentele poging tot een Möbius-puzzel, waarbij wordt aangetoond hoe beperkt de lijst met bruikbare, spiegelbare woorden is.
Kruiswoordpuzzels op een Möbiusband
De bewering dat "Guilbert het kruiswoordspel Pago Pago uitvond" wordt herhaald in een nieuws- of tijdschriftartikel dat zonder bibliografische gegevens is overgenomen op een blog uit maart 2012. Dat artikel begint met: "Robert Guilbert Sr. wil een Hall of Fame voor kruiswoordpuzzels openen. Of — zoals Guilbert uit gewoonte zou zeggen — een museum, schrijn, depot, galerie of pantheon van onsterfelijken."
In het artikel "Robert Guilbert’s Crossword Academy" van Helene Hovanec (CROSSWORD, nov/dec 1992) staat geen tekst over Pago Pago, maar er staat wel een onondertekende foto van Guilbert (1911–1990) die hard aan het werk is.
David Steinberg, van de blog "Pre-Shortzian Puzzle Project", heeft Guilbert meerdere keren genoemd in verband met zijn kortstondige Crossword Academy. In 2016 ontving hij een vriendelijke reactie op zijn blog van Jonathan, de zoon van Guilbert, en aanvullende informatie via e-mail.
Jonathan schreef onder andere:
"Op de foto is hij te zien terwijl hij werkt aan een puzzel die hij ontwierp als een 'Möbiusband' — een 'Infinity Crossword Puzzle' — een puzzel zonder begin en einde. Ik geloof dat hij dit spel wilde laten produceren en vermarkten onder de naam 'Pago Pago'."
Persoonlijk vermoed ik dat Jonathan het mis had: dat de Möbius-puzzel en het Pago Pago-spel (wat de aard daarvan ook was) twee aparte projecten waren. Echter, blijkbaar op basis van Jonathans vermoeden, werd de "Möbius–Pago Pago-hypothese" als feit overgenomen in de proefschrift van Adrienne Raphel, "The Crossword Mentality in Modern Literature and Culture" (Harvard, 2018):
"In 1986 vond Robert Guilbert, een voormalig adverteerder uit Milwaukee die graag puzzelde tijdens zijn pensioen, een spel uit genaamd Pago Pago; een oneindige kruiswoordpuzzel op een Möbiusband, en begon dit aan te prijzen bij kruiswoordfans."
Dezelfde zin verschijnt in Raphels boek Thinking Inside the Box (2020). De kettingreactie zet zich voort in Across the Universe van Natan Last (2025):
"hij had een spel uitgevonden genaamd Pago Pago, een oneindige kruiswoordpuzzel op een Möbiusband, en wilde het aan de grootheden verkopen."
Wat is een kruiswoordpuzzel op een Möbiusband?
Maar hoe ziet een kruiswoordpuzzel op een Möbiusband er eigenlijk uit? Vermoedelijk is het een puzzel die van onder naar boven (en vice versa) in zichzelf lusd.
Een kruiswoordpuzzel die dat aan alle vier de zijden doet, wordt "toraal" genoemd (zoals een torus). Jeff Weeks heeft diverse van dit soort puzzels gemaakt; deze zijn onder andere te vinden in een PDF van MoMath. Hij heeft zelfs kruiswoordpuzzels gemaakt "op een Klein-fles". Hierbij verbinden de rechter- en linkerkanten elkaar zoals bij een torus, terwijl de boven- en onderkant verbonden worden met een Möbius-halve draai.
Een dergelijke puzzel is elegant omdat, ondanks een formaat van 5x5, de twee langste woorden elk negen letters bevatten. Het is echter niet perfect bevredigend: de helft van de horizontale woorden wordt van rechts naar links gelezen. Bovendien, als de strip daadwerkelijk in zichzelf zou lussen met een halve draai, zouden de letters dan niet ook achterstevoren komen te staan? In dat geval zou 6-Down bijvoorbeeld niet MESSENGER zijn, maar het spiegelbeeld daarvan.
De wiskundige uitdaging van de Möbiusband
Volgens Martin Gardner is een echte mathematische Möbiusband wat topologen "niet-oriënteerbaar" noemen. Stel je de band voor als een echt oppervlak met nul dikte. In deze ruimte bevinden zich platte wezens die spiegelasymmetrisch zijn (dus niet identiek aan hun spiegelbeeld). Als zo'n wezen één keer rond de band beweegt om terug te keren bij zijn genoten, is zijn pariteit veranderd en is hij een spiegelbeeld van zijn vroegere zelf geworden.
Als onze "platte wezens" de lettervormen van de kruiswoordpuzzel zijn, dan verandert de pariteit van de letters zodra de puzzel in zichzelf lust: een 'S' wordt een gespiegelde 'S'. Hierdoor kunnen we in principe alleen letters gebruiken die verticaal symmetrisch zijn. Dit maakt het uiterst moeilijk om een complexere puzzel te maken dan een oneindige herhaling van symmetrische tekens.
Een alternatief is horizontaal lussen met horizontaal symmetrische letters (bijv. HEEHEEHEE…). Maar om woorden te creëren die niet oneindig lang zijn, zouden we in plaats daarvan een diagonale "ladder" van woorden moeten maken — precies wat ik denk te zien gebeuren op de foto van Robert Guilbert!
Als onze "ladder" diagonaal naar beneden en links loopt: ABC DEF GHI
Dan kunnen we letters gebruiken waarvan de symmetrieas op die lijn van 45 graden ligt. Voorbeelden zijn 'O' and 'X', maar ook 'L': "LOX" horizontaal gespiegeld produceert "XOL" als een van de verticale woorden. Daarnaast kunnen we 'W' gebruiken, die (bij de juiste tekenwijze) spiegelt naar een 'E'; 'H' spiegelt naar een 'I' (met schreef); 'C' spiegelt naar een 'U'; en zelfs 'D' spiegelt (met lange schreven) naar een mooie ronde hoofdletter 'A'.
Een experimentele Möbius-kruiswoordpuzzel
Dit geeft ons genoeg vrijheid om een Möbiusband-kruiswoordpuzzel te maken. Als je zo'n strip uitprint en de uiteinden met een halve draai aan elkaar plakt, zul je merken dat je slechts de eerste vijf hints hoeft op te lossen. Daarna kun je de strip omdraaien en de antwoorden van de laatste vijf hints aflezen via de lettervormen die door het papier heen zijn doorgedrukt (of door het papier tegen het licht te houden).
Mijn eigen poging is geen goede kruiswoordpuzzel. Niet alleen is de invulling matig, maar hij herhaalt ook woorden: zes van de horizontale woorden komen terug in de verticale woorden. Toch was dit de beste ladder van drie letters die ik kon vinden, zelfs met computerondersteuning. Mijn woordenlijst bestond uit slechts 23 paren van woorden. (Het is immers zo dat elk horizontaal woord spiegelt naar een verticaal woord: als we 'LAW' horizontaal hebben, krijgen we noodzakelijkerwijs 'EDL' verticaal. En omdat 'EDL' geen woord is, kan 'LAW' ook niet in de lijst staan).
Woorden van meer dan drie letters die op deze manier spiegelbaar zijn, zijn uiterst zeldzaam: HOWL spiegelt naar LEO I, ALOE naar WOLD, en ALOUD naar A COLD; dat is vrijwel alles.
Kruiswoordpuzzels op een Möbiusband
De bewering dat "Guilbert het kruiswoordspel Pago Pago uitvond" wordt herhaald in een nieuws- of tijdschriftartikel dat zonder bibliografische gegevens is overgenomen op een blog uit maart 2012. Dat artikel begint met: "Robert Guilbert Sr. wil een Hall of Fame voor kruiswoordpuzzels openen. Of — zoals Guilbert uit gewoonte zou zeggen — een museum, schrijn, depot, galerie of pantheon van onsterfelijken."
In het artikel "Robert Guilbert’s Crossword Academy" van Helene Hovanec (CROSSWORD, nov/dec 1992) staat geen tekst over Pago Pago, maar er staat wel een onondertekende foto van Guilbert (1911–1990) die hard aan het werk is.
David Steinberg, van de blog "Pre-Shortzian Puzzle Project", heeft Guilbert meerdere keren genoemd in verband met zijn kortstondige Crossword Academy. In 2016 ontving hij een vriendelijke reactie op zijn blog van Jonathan, de zoon van Guilbert, en aanvullende informatie via e-mail.
Jonathan schreef onder andere:
"Op de foto is hij te zien terwijl hij werkt aan een puzzel die hij ontwierp als een 'Möbiusband' — een 'Infinity Crossword Puzzle' — een puzzel zonder begin en einde. Ik geloof dat hij dit spel wilde laten produceren en vermarkten onder de naam 'Pago Pago'."
Persoonlijk vermoed ik dat Jonathan het mis had: dat de Möbius-puzzel en het Pago Pago-spel (wat de aard daarvan ook was) twee aparte projecten waren. Echter, blijkbaar op basis van Jonathans vermoeden, werd de "Möbius–Pago Pago-hypothese" als feit overgenomen in de proefschrift van Adrienne Raphel, "The Crossword Mentality in Modern Literature and Culture" (Harvard, 2018):
"In 1986 vond Robert Guilbert, een voormalig adverteerder uit Milwaukee die graag puzzelde tijdens zijn pensioen, een spel uit genaamd Pago Pago; een oneindige kruiswoordpuzzel op een Möbiusband, en begon dit aan te prijzen bij kruiswoordfans."
Dezelfde zin verschijnt in Raphels boek Thinking Inside the Box (2020). De kettingreactie zet zich voort in Across the Universe van Natan Last (2025):
"hij had een spel uitgevonden genaamd Pago Pago, een oneindige kruiswoordpuzzel op een Möbiusband, en wilde het aan de grootheden verkopen."
Wat is een kruiswoordpuzzel op een Möbiusband?
Maar hoe ziet een kruiswoordpuzzel op een Möbiusband er eigenlijk uit? Vermoedelijk is het een puzzel die van onder naar boven (en vice versa) in zichzelf lusd.
Een kruiswoordpuzzel die dat aan alle vier de zijden doet, wordt "toraal" genoemd (zoals een torus). Jeff Weeks heeft diverse van dit soort puzzels gemaakt; deze zijn onder andere te vinden in een PDF van MoMath. Hij heeft zelfs kruiswoordpuzzels gemaakt "op een Klein-fles". Hierbij verbinden de rechter- en linkerkanten elkaar zoals bij een torus, terwijl de boven- en onderkant verbonden worden met een Möbius-halve draai.
Een dergelijke puzzel is elegant omdat, ondanks een formaat van 5x5, de twee langste woorden elk negen letters bevatten. Het is echter niet perfect bevredigend: de helft van de horizontale woorden wordt van rechts naar links gelezen. Bovendien, als de strip daadwerkelijk in zichzelf zou lussen met een halve draai, zouden de letters dan niet ook achterstevoren komen te staan? In dat geval zou 6-Down bijvoorbeeld niet MESSENGER zijn, maar het spiegelbeeld daarvan.
De wiskundige uitdaging van de Möbiusband
Volgens Martin Gardner is een echte mathematische Möbiusband wat topologen "niet-oriënteerbaar" noemen. Stel je de band voor als een echt oppervlak met nul dikte. In deze ruimte bevinden zich platte wezens die spiegelasymmetrisch zijn (dus niet identiek aan hun spiegelbeeld). Als zo'n wezen één keer rond de band beweegt om terug te keren bij zijn genoten, is zijn pariteit veranderd en is hij een spiegelbeeld van zijn vroegere zelf geworden.
Als onze "platte wezens" de lettervormen van de kruiswoordpuzzel zijn, dan verandert de pariteit van de letters zodra de puzzel in zichzelf lust: een 'S' wordt een gespiegelde 'S'. Hierdoor kunnen we in principe alleen letters gebruiken die verticaal symmetrisch zijn. Dit maakt het uiterst moeilijk om een complexere puzzel te maken dan een oneindige herhaling van symmetrische tekens.
Een alternatief is horizontaal lussen met horizontaal symmetrische letters (bijv. HEEHEEHEE…). Maar om woorden te creëren die niet oneindig lang zijn, zouden we in plaats daarvan een diagonale "ladder" van woorden moeten maken — precies wat ik denk te zien gebeuren op de foto van Robert Guilbert!
Als onze "ladder" diagonaal naar beneden en links loopt: ABC DEF GHI
Dan kunnen we letters gebruiken waarvan de symmetrieas op die lijn van 45 graden ligt. Voorbeelden zijn 'O' and 'X', maar ook 'L': "LOX" horizontaal gespiegeld produceert "XOL" als een van de verticale woorden. Daarnaast kunnen we 'W' gebruiken, die (bij de juiste tekenwijze) spiegelt naar een 'E'; 'H' spiegelt naar een 'I' (met schreef); 'C' spiegelt naar een 'U'; en zelfs 'D' spiegelt (met lange schreven) naar een mooie ronde hoofdletter 'A'.
Een experimentele Möbius-kruiswoordpuzzel
Dit geeft ons genoeg vrijheid om een Möbiusband-kruiswoordpuzzel te maken. Als je zo'n strip uitprint en de uiteinden met een halve draai aan elkaar plakt, zul je merken dat je slechts de eerste vijf hints hoeft op te lossen. Daarna kun je de strip omdraaien en de antwoorden van de laatste vijf hints aflezen via de lettervormen die door het papier heen zijn doorgedrukt (of door het papier tegen het licht te houden).
Mijn eigen poging is geen goede kruiswoordpuzzel. Niet alleen is de invulling matig, maar hij herhaalt ook woorden: zes van de horizontale woorden komen terug in de verticale woorden. Toch was dit de beste ladder van drie letters die ik kon vinden, zelfs met computerondersteuning. Mijn woordenlijst bestond uit slechts 23 paren van woorden. (Het is immers zo dat elk horizontaal woord spiegelt naar een verticaal woord: als we 'LAW' horizontaal hebben, krijgen we noodzakelijkerwijs 'EDL' verticaal. En omdat 'EDL' geen woord is, kan 'LAW' ook niet in de lijst staan).
Woorden van meer dan drie letters die op deze manier spiegelbaar zijn, zijn uiterst zeldzaam: HOWL spiegelt naar LEO I, ALOE naar WOLD, en ALOUD naar A COLD; dat is vrijwel alles.
Groetjes,