Wordt het een gouden tijdperk of een duistere tijd voor de wiskunde (en wetenschap)?

Large language models (LLM's) en de researchesystemen die daaromheen zijn gebouwd (algemeen bekend als "kunstmatige intelligentie") hebben opmerkelijke vaardigheden getoond in het genereren van wiskundige bewijzen. Hoewel de kwaliteit en de limieten van deze instrumenten nog niet volledig worden begrepen, lijkt hun potentieel voor het versnellen van ontdekkingen en het mogelijk maken van buitengewone vorderingen in de wiskunde en, breder, in de wetenschap en technologie, duidelijk.

Het benutten van dat potentieel vereist een zorgvuldige integratie van LLM's in de verschillende STEM-ecosystemen. De prioriteiten hierbij zijn het versterken van een nieuwe generatie wetenschappers, het ontwikkelen van nieuwe STEM-expertise en het behouden van een open, collaboratieve en intellectueel onafhankelijke wetenschappelijke onderneming: dat is het scenario van het "gouden tijdperk".

In het scenario van de "duistere tijd" zou de wetenschappelijke en technologische output op de korte termijn nog steeds spectaculair toenemen, maar zou tegelijkertijd de onafhankelijke menselijke wetenschappelijke activiteit geleidelijk verzwakken. De productie van nieuwe kennis zou steeds sterker geconcentreerd raken in een klein aantal handen, die zelf steeds minder in staat zijn om de geproduceerde kennis te begrijpen. De werkelijke duisternis zou hier zijn dat kennis vreemd wordt voor het menselijk begrip.

De realiteit zal waarschijnlijk een combinatie van deze scenario's zijn. In acht punten onderzoek ik de keuzes die deze uitkomst vormgeven, waarbij ik beweeg van de wiskunde naar de wetenschap in bredere zin, en afsluit met concrete voorstellen.

(1) De technologische doorbraak is echt! Maar…

Om het voor de hand liggende te benoemen: LLM's zijn krachtige onderzoeksinstrumenten geworden. Recente door LLM's gegenereerde bewijzen, zoals de constructie van een finite-time blow-up oplossing voor de Navier-Stokes-vergelijkingen met een forceringsterm, of het voorgestelde bewijs van de quasi-Riemann-hypothese, verdienen de grootste aandacht van wiskundigen. Het beoordelen van hun significantie vereist voortdurende onafhankelijke controle, interpretatie en assimilatie door de wiskundige gemeenschap.

LLM's lijken zich het meest thuis te voelen bij het schrijven van bewijzen in Lean. Lean is een bewijsassistent die computers in staat stelt om te controleren of een formeel argument een gestelde claim vaststelt onder gespecificeerde definities en axioma's. Voor die moeilijke stellingen waar we LLM's echt nodig hebben, zijn deze Lean-bewijzen extreem lang, soms honderdduizenden regels code. Een opmerkelijke trend is dat hoe langer de Lean-versie van een bewijs is, hoe slordiger en minder getrouw de door de machine gegenereerde vertaling naar "natuurlijke taal" lijkt te zijn. We begrijpen niet waarom LLM's zo slecht lijken te zijn in dit soort vertalingen, maar tot op vandaag worstelen ze echt met deze taak.

Voor de echt belangrijke problemen kunnen LLM's ons dus correcte Lean-bewijzen geven die we niet direct kunnen lezen, en slordige vertalingen in natuurlijke taal die zo complex zijn dat ze intensieve studie door wiskundigen vereisen voordat ze kunnen leiden tot menselijk begrip. Hoewel dit specifieke vertaalprobleem in de toekomst kan veranderen, leidt het ons direct naar de fundamentele vraag: zonder menselijk begrip, waarom zouden we ons dan bezighouden met het bestuderen van wiskunde, of zelfs het verkrijgen van bewijzen, buiten het benchmarken van LLM's?

Wiskunde is een zeer bijzonder menselijk artefact. Het lijkt diepe biologische wortels te hebben in hoe mensen cogniteren. We identificeren (mensen, dieren, objecten); daarom tellen we, en hebben we getallen. We lijken aangeboren concepten van ruimte en tijd te hebben, en we kwantificeren en meten deze met getallen. Sommige basisvormen van rekenkunde en meetkunde lijken bijna aangeboren voor mensen. Verschillende beschavingen hebben verschillende soorten wiskunde gebouwd, en zelfs tijdens de meest recente geschiedenis van de wiskunde is het concept van het domein van wiskundig onderzoek drastisch uitgebreid, soms zelfs per ongeluk.

(We bevinden ons mogelijk zelfs in een situatie waarin er een wiskunde van mensen is en een wiskunde van LLM's. Dit is wellicht niet alleen waar op linguïstisch niveau, maar ook in een diepere zin, hoewel het te vroeg is om dat te zeggen.)

Ik ben daarom het oneens met beweringen dat de wiskunde "klaar" is omdat machines stellingen kunnen bewijzen. Zonder mensen die wiskunde begrijpen, is er letterlijk geen menselijke wiskunde — een fundamenteel onderdeel van de menselijke cultuur. Als we ermee eens zijn dat we de wiskunde niet moeten opgeven omdat slecht begrepen machines ons antropocentrische wereldbeeld beschadigen, dan heeft de samenleving meer wiskundigen nodig, niet minder. Heel veel meer.

(2) Gezond wetenschappelijk scepticisme en de grenzen van de creativiteit van LLM's

Gezien de buitengewone resultaten van LLM's in de wiskunde is er nu aanzienlijke opwinding over toekomstige mogelijkheden en, naar mijn mening, soms een gebrek aan koelbloedigheid dat geen recht doet aan de wetenschappelijke methode. Buitengewone prestaties moeten worden beschouwd als een fenomeen om te bestuderen, niet als bewijs voor speculatieve conclusen over intelligentie, creativiteit of zelfs bewustzijn. Dit laatste zijn enkele van de moeilijkste legitieme onderwerpen van wetenschappelijk onderzoek. Ze moeten worden benaderd met expliciete definities, testbare hypothesen en empirisch bewijs.

Hetzelfde geldt voor de verregaande voorspellingen over onvermijdelijke sociale transformaties die vaak volgen op de verbazing over geobserveerde capaciteiten. We lijken te gemakkelijk te vergeten dat de sociale gevolgen van deze technologieën niet uitsluitend worden bepaald door hun capaciteiten, maar, belangrijker nog, door de keuzes die we maken over hoe deze capaciteiten worden ontwikkeld en geïntegreerd in bestaande instituties. Er zijn geen onvermijdelijke uitkomsten, maar er is een dringende behoefte aan wetenschappelijk en politiek leiderschap.

Wat weten we vandaag over de wiskundige vermogens van LLM's? Zowel theoretische als empirische inzichten ondersteunen de conclusie dat LLM's buitengewoon goed zijn in het recombineren van bestaande intellectuele structuren en het ontdekken van onopgemerkte verbindingen tussen verre delen van de wetenschappelijke literatuur. Bovendien doen LLM's dit op een schaal die onbereikbaar is voor individuele onderzoekers. Of hun bijzondere effectiviteit bij het bewijzen van stellingen volledig kan worden verklaard als hyper-gesofisticeerde linguïstische recombinatie, of dat het andere vormen van synthetische redenering betreft die nog niet zijn beschreven en begrepen, is vandaag de dag een open wetenschappelijke vraag.

Eén punt dat bijzonder moeilijk te bepalen is — aangezien commerciële ontwikkelaars niet transparant kunnen zijn over de werking van hun modellen — is de relatie tussen de prestaties van LLM's op een probleem en de rijkdom van de bijbehorende wiskundige literatuur. Bijvoorbeeld, zowel de Navier-Stokes-vergelijkingen als de Riemann-hypothese zijn het onderwerp van een enorme hoeveelheid literatuur, gecreëerd door honderden van de briljantste wiskundigen.

Toen OpenAI hun "Tuesday October 6, 2026, Drop" publiceerde, vermoelden ze dat ze 4000 problemen hadden geprobeerd en succes rapporteerden voor enkele honderden daarvan (geteld na "aggregatie" en "selectie"). De taal die daar wordt gebruikt is wat vaag, maar het impliceert nog steeds het bestaan van een potentieel grote groep problemen waarvoor de frontier LLM geen oplossingen vond. Vanuit een wetenschappelijk oogpunt zou het zeer interessant zijn om te weten wat deze problemen waren. Misschien zijn die problemen interessanter dan NS en RH? Of is de grond eromheen minder vruchtbaar voor LLM's? Dit zijn belangrijke vragen voor mensen die de wiskundige vooruitgang willen bevorderen: hoe zetten we LLM's in de beste positie om te helpen?

(3) Mathematisering

Wiskundigen lijken het er grotendeels over eens dat sommige menselijke wiskundige functies niet reduceerbaar zijn tot het bewijzen van stellingen. Een bijzonder belangrijke functie is mathematisering:

De handeling van het uitvinden van de wiskundige taal waardoor de realiteit (inclusief wiskundige structuren zelf) kwantitatief en rationeel begrijpelijk wordt.

Newton, Fourier, Riemann, Einstein, Shannon, Grothendieck: hun grootste wiskundige bijdragen kunnen worden beschreven als de hoogste voorbeelden van mathematisering, aangezien ze de uitvinding van wiskundige talen en conceptuele kaders omvatten die hele kennisgebieden transformeerden.

We weten niet of LLM's mathematisering kunnen uitvoeren. Mijn vermoeden is dat ze in staat zouden moeten zijn (of uiteindelijk worden) om wiskundige structuren te mathematiseren — dus een zeer specifiek deel van de realiteit — maar het is veel minder duidelijk of ze daaroverheen kunnen gaan, althans op een manier die ze vervolgens efficiënt kunnen vertalen naar natuurlijke taal. Ik kom hier terug op het menselijk begrip.

Naar mijn mening is de meest opwindende kans die ontstaat door bewijzen tot een toegankelijker product te maken, dat we in de nabije toekomst veel meer mathematisering kunnen doen dan ooit tevoren. Er zijn enorme gebieden in de natuur- en sociale wetenschappen waar ons vermogen om te mathematiseren grotendeels is gedempt door de moeilijkheid van het verkrijgen van bewijzen. Zonder bewijzen kan het immers moeilijk zijn om de consequenties van een theorie vast te stellen en deze te vergelijken met geobserveerde fenomenen. Maar, zoals vaak wordt geobserveerd in de wetenschap, zijn we misschien net de top van de berg beklommen om te ontdekken dat er nog meer land te verkennen is.

Ik denk dat er aanzienlijke opwinding zou moeten zijn rond dit idee. Telkens wanneer een systeem van fenomenen, experimenten en data succesvol wordt gemathematiseerd, vergroten we de verfijning en diepte van de toegankelijke inzichten in dat systeem enorm.

Het meest spectaculaire voorbeeld hiervan is waarschijnlijk het succes van de kwantummechanica, waar de wiskundige formalisering van een oorspronkelijke set experimentele data beroemd is om het produceren van veel fysiek contra-intuïtieve maar testbare voorspellingen, bevestigd door experimenten die anders ondenkbaar zouden zijn geweest. Wie zou verstrengeling (entanglement) als een eigenschap van de natuur hebben voorgesteld als men daartoe niet was gedwongen door theoretische voorspelling?

(4) Wiskundige vooruitgang kan niet worden gemeten door simpelweg vakjes af te vinken op een probleemlijst

Wiskunde is geen eindig systeem van vragen. Hilbert stelde aan het begin van de vorige eeuw zijn beroemde lijst met problemen voor (die inspiratie vormde voor de Millennium Prize Problems) met de intentie om een "Cambriaanse explosie" van wiskundige activiteit te sturen en te kanaliseren. Maar veel fundamentele wiskundige bijdragen van de afgelopen eeuw gebeurden zonder enige connectie met een lijst van problemen.

Voorbeelden hiervan zijn:

• De wiskundige fundamenten van de algemene relativiteitstheorie kwamen voort uit geometrische ideeën die over meerdere generaties wiskundigen werden ontwikkeld, beginnend bij Gauss en Riemann, en voortgezet door Ricci-Curbastro en Levi-Civita. De synthese van fysiek inzicht, speciale relativiteit en Riemann-geometrie in de algemene relativiteitstheorie heeft geen connectie met een lijst van moeilijke problemen of hun complexe bewijzen (en is een schoolvoorbeeld van mathematisering in actie!).
• Een tweede voorbeeld is de brede historische traject die de studie van Fourier-reeksen verbindt met de ontwikkeling van maattheorie, moderne waarschijnlijkheidsrekening en informatietheorie. Shannons inzicht dat de statistische structuur van een bron fundamentele limieten stelt aan de transmissie en compressie van informatie is een buitengewoon voorbeeld van hoe mathematisering een geheel nieuw veld kan openen. Evenzo zijn sommige van de wiskundige fundamenten van moderne computing en machine learning waarschijnlijk geworteld in een reeks wiskundige vorderingen die niet onmiddellijk werden geïnspireerd door pogingen om grote conjuncturen te bewijzen.

Het is onmiskenbaar dat het werken aan problemen van Hilbert en andere lijsten extreem vruchtbaar is gebleken voor de ontwikkeling van de wiskunde. Wat interessant is in dat verband, is dat het nut van deze inspanningen vaak veel verder is gegaan dan de oplossing van de specifieke problemen: deze problemen hebben gediend als vuurtorens bij het navigeren door onbekende wiskundige wateren. Maar het reduceren van wiskunde tot het oplossen van moeilijke problemen uit een lijst biedt een simplistisch en onvolledig begrip van het vakgebied en van wat vooruitgang daarin betekent.

(5) Auteurschap, erkenning en peer review blijven van belang!

LLM-gegenereerd werk putt uit een enorme hoeveelheid menselijke wiskundige literatuur, maar hoe de geëxtraheerde informatie wordt gebruikt, blijft onduidelijk. Er zijn verschillende kwesties verbonden aan deze onduidelijkheid:

• Welke wiskundige ideeën hebben bijgedragen aan een specifiek bewijs?
• Wie is verantwoordelijk voor het bevestigen van de correctheid van het bewijs en voor het implementeren van revisies?
• In het geval dat een LLM argumenten herontdekt die al in de literatuur aanwezig zijn, hoe garanderen we dan passende citaties?

We hebben verstandige antwoorden nodig op al deze vragen, en we moeten bespreken hoe het bestaande publicatiesysteem dienovereenkomstig moet veranderen en zich moet aanpassen.

Bewijzen zijn niet het eindpunt van het wiskundige ontdekkingsproces. Om een vruchtbaar intellectueel artefact te worden, moet een bewijs worden begrepen, geïnterpreteerd en gerelateerd aan eerder werk. Kernideeën moeten worden geïdentificeerd en verwerkt om deel uit te maken van een gedeelde wiskundige cultuur. Peer review is essentieel. Het gebruik van LLM's en Lean-formalisering kan de effectiviteit van peer review ondersteunen (formele correctheid wordt potentieel makkelijker vast te stellen), maar menselijke interventie blijft noodzakelijk om betekenis, relevantie en context vast te stellen, en om een creatieve wiskundige omgeving te behouden die mathematisering bevordert en compatibel is met de opleiding van toekomstige wiskundigen.

Een bijzonder uitdagend probleem is de huidige overgang van een zeer open systeem van wiskunde (waarbij mensen routinematig open problemen en conjuncturen voorstellen) naar een gesloten systeem (waarbij mensen zeer voorzichtig zijn geworden met het delen van ideeën).

Als we kijken naar de interesse van OpenAI in de Riemann-hypothese, wie zou er dan onbezonnen een potentieel origineel idee hierover in ChatGPT invoeren? Datzelfde idee zou toegankelijk kunnen worden voor een andere wiskundige of OpenAI-medewerker die met een geavanceerdere LLM werkt, die dat idee in een bewijs zou kunnen omzetten zonder zelfs maar de oorsprong ervan te beseffen. Mijn zorgen strekken zich verder uit dan gepubliceerde richtlijnen over trainingsdata tot de beveiliging van opgeslagen onderzoeksmateriaal. Er zijn gedocumenteerde gevallen van agenten die ongeoorloofde toegang kregen tot systemen van derden.

Hetzelfde geldt voor onderzoeksvoorstellen. Een administrator of reviewer zou die documenten in een LLM kunnen uploaden om hulp te krijgen bij het schrijven van een rapport, waardoor de vertrouwelijkheid van ongepubliceerd onderzoek in gevaar komt.

(6) De opleiding van toekomstige wiskundigen is inmiddels een existentiële uitdaging geworden

De opleiding van toekomstige wiskundigen is nauw verbonden met auteurschap en erkenning. Ik bespreek een paar representatieve uitdagingen.

Een opmerkelijk kenmerk van de wiskunde is traditioneel de mogelijkheid om intellectueel verdienste zeer direct vast te stellen via wiskundige prestaties. Een sterk resultaat over een bekende vraag kon een onderzoeker erkenning en kansen opleveren, ongeacht institutionele marginalisering en onafhankelijk van gevestigde academische hiërarchieën.

Onder de wiskundigen met wie ik heb gesproken, is het overheersende sentiment dat dit traditionele mechanisme van erkenning in enkele weken tijd effectief is ingestort. Een sterk wiskundig resultaat kan op zichzelf niet langer worden beschouwd als overtuigend bewijs van de onafhankelijke wiskundige vermogens van een student. De onzekerheid is reëel, en we hebben nog geen bevredigende normen ontwikkeld voor het beoordelen van individuele intellectuele bijdragen aan wiskundig onderzoek in het tijdperk van LLM's.

Zonder substantiële transparantie over hoe LLM's worden aangestuurd (prompting) en via welke mechanismen prompts hun effectiviteit beïnvloeden, zal de beoordeling van wiskundige vermogens van individuen bijna uitsluitend rusten op individuele oordelen, die gebaseerd moeten zijn op meer mens-op-mens interacties.

Dit is echter niet het enige probleem. De effecten van intensief LLM-gebruik op menselijke creativiteit zijn grotendeels onbekend. Anekdotische verslagen van ervaren wiskundigen suggereren subtiele, en soms minder subtiele, verschuivingen in aandacht, motivatie en diepgang van begrip.

Hoe leren we LLM's te gebruiken op een manier die onze intellectuele vermogens versterkt, zonder de cognitieve activiteiten waar doorheen wiskundige expertise wordt geleerd en verworven, steeds meer te delegeren? Het vinden van plausibele antwoorden op deze vraag is een van de belangrijkste issues als we willen dat het scenario van het gouden tijdperk werkelijkheid wordt.

(7) Privécontrole over geavanceerde LLM's is potentieel gevaarlijk

Academisch en corporate onderzoek hebben decennia lang vruchtbaar samengewerkt. LLM's zelf combineren theoretische en technologische inzichten uit de academische wereld met geconcentreerd kapitaal en investeringen.

Het gevaar schuilt hier in de groeiende asymmetrie tussen de wetenschappelijke capaciteiten die beschikbaar zijn voor een klein aantal frontier-bedrijven en die toegankelijk zijn voor universiteiten en publieke instellingen.

Deze asymmetrie kan zeer ingrijpend zijn wanneer deze bedrijven propriëtaire systemen gebruiken om wetenschappelijke en technologische ontdekkingen na te streven in concurrentie met academisch onderzoek, in een setting waar academische onderzoekers afhankelijk worden van het gebruik van diezelfde propriëtaire systemen om te kunnen bijdragen.

De wiskunde biedt wellicht een vroeg en zichtbaar voorbeeld van een asymmetrie die in de hele wetenschap steeds belangrijker zou kunnen worden. Het toelaten dat private belangen bepalen welke vragen de beste instrumenten krijgen, wie ze kan gebruiken, hoe capaciteiten worden geëvalueerd en wanneer ontdekkingen worden vrijgegeven, zou wetenschappelijke invloed tot een ongekende graad concentreren. Een balans in capaciteiten lijkt noodzakelijk voor stabiele samenwerking. Het geven van toenemende — en potentieel totale — controle over wat een basisinfrastructuur voor frontier-wiskunde en wetenschap belooft te worden aan een handvol bedrijven, lijkt onverstandig.

Deze conclusie vereist niet dat we uitgaan van kwade bedoelingen bij het corporate management. Simpelweg: commerciële prikkels, wetenschappelijke prioriteiten en het publieke belang lopen niet altijd parallel. Een gezond wetenschappelijk ecosysteem vereist een dialoog tussen instellingen met verschillende doelstellingen en autoriteitsbronnen, onderworpen aan transparantie en vormen van publieke verantwoording.

Wat betreft de wiskunde: OpenAI is in diverse vormen van dialoog getreden met de wiskundige gemeenschap. Deze dialoog heeft geleid tot enkele verbeteringen in de presentatie en verspreiding van LLM-gegenereerde resultaten. Ik denk dat deze inspanningen constructief moeten worden ontvangen, ook omdat er objectieve en legitieme moeilijkheden zijn voor OpenAI om de transparantie en toegang te vergroten, zoals de druk om rendement te genereren op enorme investeringen en de noodzaak om veiligheid te beoordelen voor het uitrollen van systemen.

Deze interacties tonen echter duidelijk de inherente moeilijkheden bij het harmoniseren van corporate en academische belangen. Belangrijker nog is dat deze initiatieven het structurele probleem van ongelijke toegang tot frontier LLM-capaciteiten niet oplossen. Het overlaten van de oplossing voor dit punt aan de goede wil en vrijwillige initiatieven van individuele bedrijven lijkt onvoldoende.

(8) Het opbouwen van een wetenschappelijke LLM-infrastructuur binnen de bredere onderzoeksgemeenschap

Universiteiten, beroepsverenigingen, financieringsinstanties en wetenschappelijke stichtingen zouden de ontwikkeling en het beheer van concurrerende LLM's moeten coördineren. Wetenschappers hebben toegang nodig tot frontier-capaciteiten, transparantie over hun werking en het gebruik van onderzoeksdata, sterke vertrouwelijkheidsbescherming en de mogelijkheid om onderzoeksclaims onafhankelijk te testen en te reproduceren.

De enorme computerbronnen, gespecialiseerd personeel, datainfrastructuur en voortdurende investeringen die nodig zijn voor dit soort initiatieven, zijn niet binnen het bereik van één enkele instelling. Een enorme inspanning van leiderschap zal nodig zijn om de combinatie van onafhankelijke modelontwikkeling, gegarandeerde toegang tot commerciële systemen, publieke computerinfrastructuur en open onderzoeksbronnen te realiseren.

Het hoofddoel is niet noodzakelijkerwijs om totale technologische onafhankelijkheid van private bedrijven te bereiken, maar om het vermogen tot onafhankelijk wetenschappelijk onderzoek te behouden en LLM's te creëren die zijn gekalibreerd om onderzoeksgemeenschappen te ondersteunen, in plaats van bij te dragen aan hun geleidelijke verzwakking en mogelijke verdwijning.

Het behouden van een intellectueel onafhankelijke, open en creatieve wetenschappelijke cultuur, terwijl krachtige machines vaardig worden geïntegreerd, zal ongetwijfeld de definiërende culturele uitdaging van onze tijd worden. De wiskunde biedt een vroege kans om een uitdaging aan te gaan die zich waarschijnlijk snel zal uitbreiden naar de gehele wetenschap, met steeds complexere en potentieel gevaarlijke gevolgen voor kennis, intellectuele kracht en de samenleving. Wetenschappelijk scepticisme en eerlijkheid naar iedereen toe zouden ons moeten leiden.

Het scenario van het gouden tijdperk is haalbaar. Concrete stappen die we vandaag kunnen nemen zijn:

• Toegang tot frontier LLM's voor onderzoekers.
• Reproduceerbaarheids- en onthullingsnormen voor LLM-gegenereerde wetenschappelijke werken.
• Middelen voor het begrijpen en verspreiden van LLM-gegenereerde resultaten.
• Middelen voor het bestuderen van de effecten van LLM's op wetenschappelijk onderwijs en onderzoekstraining.
• Duurzame investeringen in publiekelijk beheerde LLM-infrastructuur.

In het specifieke geval van de wiskunde is mijn hoop en wens voor een solide onafhankelijke LLM-infrastructuur dat wiskundigen in staat worden gesteld om systematisch kansen na te jagen voor theorievorming, of mathematisering, zowel binnen de wiskunde als over het spectrum van de natuur- en sociale wetenschappen. Dat zou, denk ik, een werkelijk revolutionaire prestatie zijn.

In de tussentijd hebben wiskundigen de enorme verantwoordelijkheid om de wiskunde te behouden als een levend onderdeel van de menselijke cultuur. Op dit moment zijn er veel te veel belangen en emotionele reacties die trekken naar absolute, negatieve conclusies met weinig constructieve inhoud. We moeten accepteren dat dit onzekere tijden zijn en dat we niet volledig in controle zijn over de situatie. We moeten gebruikmaken van elk instrument dat ons kan helpen nieuwe wiskunde te ontdekken. We moeten blijven schrijven, publiceren, reviewen en voorstellen indienen. We moeten ambitieuzer en nieuwsgieriger zijn dan ooit. En we moeten ervoor zorgen dat we de beste professionele standaarden creëren voor de volgende generaties wiskundigen, om de wiskunde een centraal knooppunt van de menselijke cultuur te houden.