De stelling van Sylvester-Gallai

Het bewijs van Leroy Milton Kelly

Dit bewijs is geschreven door Leroy Milton Kelly, wiskundige aan de Michigan State University.

Beschouw een verzameling $S$ van punten die niet allemaal collinear zijn. We definiëren een 'verbindingslijn' als een lijn die ten minste twee van deze punten bevat. Er moet een punt $P$ en een verbindingslijn $\ell$ bestaan die dichter bij elkaar liggen dan elk ander punt-lijnpaar in de verzameling. Kelly bewijst nu dat $\ell$ slechts twee van de punten in $S$ bevat.

De redenering

Stel dat dit niet waar is; neem aan dat $\ell$ meer dan twee punten in $S$ bevat. De lijn gaat dus door ten minste drie punten in de verzameling.

Ten minste twee van deze punten moeten zich aan dezelfde kant van $P'$ bevinden, waarbij $P'$ de loodrechte projectie van $P$ op $\ell$ is. Laten we deze twee punten $B$ en $C$ noemen, waarbij $B$ het dichtst bij $P'$ ligt.

Als we nu een verbindingslijn $m$ trekken die door $P$ en $C$ gaat, en de loodlijn van $B$ naar $B'$ op $m$ trekken, dan zal de afstand $BB'$ korter zijn dan $PP'$. Dit komt doordat de driehoeken $PP'C$ and $BB'C$ gelijkvormig zijn.

Conclusie

Dit is een tegenstrijdigheid — we hadden $P$ en $\ell$ immers gedefinieerd als het punt-lijnpaar dat dichter bij elkaar ligt dan elk ander paar in de verzameling. Daarom kan onze aanname dat $\ell$ meer dan twee punten bevat, niet waar zijn.