Het artikel beschrijft het polyeder van Steffen, een specifiek type flexibel polyeder. Waar convexe polyeders rigide zijn, kan dit object van vorm veranderen terwijl de individuele zijvlakken (14 driehoeken) ongewijzigd blijven.
De auteur legt het constructieproces uit in vier fasen:
- De basispiramide: Het creëren van een vorm met één vrijheidsgraad.
- Toevoegen van driehoeken: Het toevoegen van vlakken die door congruentie bepaalde afstanden constant houden.
- Samenvoeging: Het koppelen van twee van deze figuren.
- Voltooiing: Het sluiten van het polyeder met laatste driehoeken om een flexibel geheel te vormen.
Daarnaast wordt melding gemaakt van recente wetenschappelijke ontwikkelingen uit 2024, waarbij een flexibel polyeder met slechts acht hoekpunten is gevonden. Het artikel eindigt met een beschrijving van hoe men een fysiek net van het polyeder kan printen en vouwen.
Het Polyeder van Steffen
Het polyeder van Steffen is een flexibel polyeder: een polyeder dat van vorm kan veranderen terwijl de vormen van alle individuele zijvlakken behouden blijven.
Het is bewezen dat geen enkel convex polyeder flexibel kan zijn. Het eerste niet-zelf-doorsnijdende flexibele polyeder met de topologie van een bol werd in 1977 ontdekt door Robert Connelly, maar de versie van Klaus Steffen heeft minder zijvlakken, met slechts 14 driehoeken.
(Een tijdlang werd aangenomen dat de negen hoekpunten van het polyeder van Steffen het minimum waren, maar in 2024 werd door Gallet et al. een flexibel polyeder met slechts acht hoekpunten gevonden. Elvar Atlason, die mij op deze nieuwe ontwikkeling wees, heeft een gedetailleerde analyse van het probleem gepubliceerd en een andere oplossing met acht hoekpunten geconstrueerd.)
De constructie van het polyeder
Het is niet moeilijk om te zien hoe het polyeder van Steffen is geconstrueerd.
Stap 1: De basispiramide
Beschouw eerst de flexibele vorm die we verkrijgen door vier geschikte driehoeken samen te voegen tot een soort piramide. Deze vorm heeft één vrijheidsgraad: we kunnen bijvoorbeeld de lengte van een van de diagonalen van de niet-vlakke vierhoek ABCD die de basis van de piramide vormt, wijzigen.
We kiezen de volgende zijden:
- AB = CD = 12
- BC = AD = 10
- AP = 10
- BP = 5
- CP = 12
- DP = 11
Er is niets bijzonders aan de specifieke getallen 5, 10, 11 en 12, maar het is cruciaal dat tegenoverliggende zijden van de vierhoek dezelfde lengte hebben.
Stap 2: Toevoegen van driehoeken
Stel nu dat we twee extra driehoeken aan deze figuur bevestigen langs de zijden AD en CD, waarbij de twee driehoeken een gemeenschappelijke zijde DE delen. Specifiek stellen we:
Het toevoegen van deze twee driehoeken introduceert geen extra vrijheid in de vorm, aangezien de locatie van E wordt bepaald door de zijden AD en CD (op een keuze van aan welke kant van het vlak ACD het ligt).
Verrassend genoeg blijft de afstand BE constant (op 11), zelfs terwijl de vierhoek ABCD buigt, waardoor de hoek ECB ook ongewijzigd blijft. De reden hiervoor is dat de driehoek ADE congruent is aan de driehoek CBP, en de driehoek CDE congruent is aan de driehoek ABP. E is dus de top van een tweede piramide die congruent is aan de eerste; BCE is congruent aan DAP, en BE = DP = 11.
Stap 3: Samenvoeging
Om het polyeder van Steffen te bouwen, nemen we twee van deze figuren van zes driehoeken en voegen we ze samen langs de zijden EC en CB. Specifiek verbinden we de zijde E1C1 van de eerste figuur met de zijde B2C2 van de tweede, en de zijde B1C1 van de eerste figuur met de zijde E2C2 van de tweede.
We weten dat we deze verbinding kunnen maken, ongeacht de specifieke vormen van de twee vierhoekige bases, omdat de hoek ECB onafhankelijk is van de vorm. Deze assemblage van 12 driehoeken heeft dus twee vrijheidsgraden.
Stap 4: Voltooiing
Om het polyeder te voltooien, voegen we de driehoekige zijvlakken A1 B1 A2 en A2 B2 A1 toe. Om ervoor te zorgen dat deze vlakken een constante vorm behouden, gebruiken we één vrijheidsgraad om de eis op te leggen dat A1 A2 een specifieke vaste lengte van 17 heeft. Er blijft echter nog steeds een vrijheidsgraad over, waardoor het resulterende polyeder vrij kan buigen.
(B1 B2 is vastgesteld op 11, ongeacht de specifieke vormen van de vierhoekige bases, maar als we B1 B2 in plaats van A1 A2 zouden gebruiken om A1 B1 A2 B2 in twee driehoekige vlakken te splitsen, zouden deze andere vlakken van het polyeder doorsnijden.)
Ontvouwing van het polyeder
Er bestaat een net (ontvouwing) voor het polyeder: een projectie van de zijvlakken op een plat vlak, die kan worden uitgeprint, uitgesneden en gevouwen.
- Gestreepte lijnen tussen de vlakken moeten worden gevouwen als dalvouwen.
- Ononderbroken lijnen moeten worden gevouwen als bergvouwen.
De kleuren van de vlakken komen overeen met de afbeeldingen. Om ervoor te zorgen dat de enkelzijdige kleuren op het papier aan de buitenkant van het polyeder eindigen, zullen de twee piramides (gezien vanaf de gekleurde zijde) eruitzien als kuilen.
Het Polyeder van Steffen
Het polyeder van Steffen is een flexibel polyeder: een polyeder dat van vorm kan veranderen terwijl de vormen van alle individuele zijvlakken behouden blijven.
Het is bewezen dat geen enkel convex polyeder flexibel kan zijn. Het eerste niet-zelf-doorsnijdende flexibele polyeder met de topologie van een bol werd in 1977 ontdekt door Robert Connelly, maar de versie van Klaus Steffen heeft minder zijvlakken, met slechts 14 driehoeken.
(Een tijdlang werd aangenomen dat de negen hoekpunten van het polyeder van Steffen het minimum waren, maar in 2024 werd door Gallet et al. een flexibel polyeder met slechts acht hoekpunten gevonden. Elvar Atlason, die mij op deze nieuwe ontwikkeling wees, heeft een gedetailleerde analyse van het probleem gepubliceerd en een andere oplossing met acht hoekpunten geconstrueerd.)
De constructie van het polyeder
Het is niet moeilijk om te zien hoe het polyeder van Steffen is geconstrueerd.
Stap 1: De basispiramide
Beschouw eerst de flexibele vorm die we verkrijgen door vier geschikte driehoeken samen te voegen tot een soort piramide. Deze vorm heeft één vrijheidsgraad: we kunnen bijvoorbeeld de lengte van een van de diagonalen van de niet-vlakke vierhoek ABCD die de basis van de piramide vormt, wijzigen.
We kiezen de volgende zijden:
- AB = CD = 12
- BC = AD = 10
- AP = 10
- BP = 5
- CP = 12
- DP = 11
Er is niets bijzonders aan de specifieke getallen 5, 10, 11 en 12, maar het is cruciaal dat tegenoverliggende zijden van de vierhoek dezelfde lengte hebben.
Stap 2: Toevoegen van driehoeken
Stel nu dat we twee extra driehoeken aan deze figuur bevestigen langs de zijden AD en CD, waarbij de twee driehoeken een gemeenschappelijke zijde DE delen. Specifiek stellen we:
Het toevoegen van deze twee driehoeken introduceert geen extra vrijheid in de vorm, aangezien de locatie van E wordt bepaald door de zijden AD en CD (op een keuze van aan welke kant van het vlak ACD het ligt).
Verrassend genoeg blijft de afstand BE constant (op 11), zelfs terwijl de vierhoek ABCD buigt, waardoor de hoek ECB ook ongewijzigd blijft. De reden hiervoor is dat de driehoek ADE congruent is aan de driehoek CBP, en de driehoek CDE congruent is aan de driehoek ABP. E is dus de top van een tweede piramide die congruent is aan de eerste; BCE is congruent aan DAP, en BE = DP = 11.
Stap 3: Samenvoeging
Om het polyeder van Steffen te bouwen, nemen we twee van deze figuren van zes driehoeken en voegen we ze samen langs de zijden EC en CB. Specifiek verbinden we de zijde E1C1 van de eerste figuur met de zijde B2C2 van de tweede, en de zijde B1C1 van de eerste figuur met de zijde E2C2 van de tweede.
We weten dat we deze verbinding kunnen maken, ongeacht de specifieke vormen van de twee vierhoekige bases, omdat de hoek ECB onafhankelijk is van de vorm. Deze assemblage van 12 driehoeken heeft dus twee vrijheidsgraden.
Stap 4: Voltooiing
Om het polyeder te voltooien, voegen we de driehoekige zijvlakken A1 B1 A2 en A2 B2 A1 toe. Om ervoor te zorgen dat deze vlakken een constante vorm behouden, gebruiken we één vrijheidsgraad om de eis op te leggen dat A1 A2 een specifieke vaste lengte van 17 heeft. Er blijft echter nog steeds een vrijheidsgraad over, waardoor het resulterende polyeder vrij kan buigen.
(B1 B2 is vastgesteld op 11, ongeacht de specifieke vormen van de vierhoekige bases, maar als we B1 B2 in plaats van A1 A2 zouden gebruiken om A1 B1 A2 B2 in twee driehoekige vlakken te splitsen, zouden deze andere vlakken van het polyeder doorsnijden.)
Ontvouwing van het polyeder
Er bestaat een net (ontvouwing) voor het polyeder: een projectie van de zijvlakken op een plat vlak, die kan worden uitgeprint, uitgesneden en gevouwen.
- Gestreepte lijnen tussen de vlakken moeten worden gevouwen als dalvouwen.
- Ononderbroken lijnen moeten worden gevouwen als bergvouwen.
De kleuren van de vlakken komen overeen met de afbeeldingen. Om ervoor te zorgen dat de enkelzijdige kleuren op het papier aan de buitenkant van het polyeder eindigen, zullen de twee piramides (gezien vanaf de gekleurde zijde) eruitzien als kuilen.
Groetjes,