Een begin voor de wiskunde

Een paar weken geleden gaf ik een presentatie getiteld The End of Mathematics. Als je alleen de titel leest [1], zou je kunnen gissen dat deze presentatie ging over hoe AI de wiskunde binnenkort zal "oplossen". Dat was niet het geval. De presentatie schetste in plaats daarvan een somber toekomstbeeld waarin, ondanks de mogelijkheid van AI-systemen die robuust superieur zijn aan mensen in de wiskunde, het ontwerp van onze instituties ervoor zorgt dat het menselijk begrip van wiskunde, en mogelijk zelfs de abstracte wiskundige vooruitgang, tot stilstand komt. Ik denk dat we deze toekomst kunnen vermijden, maar ik denk ook dat dit het waarschijnlijke resultaat is als de academische wiskunde zich niet aanpast. Ondanks mijn relatieve enthousiasme voor het gebruik van AI om wiskunde te bedrijven, deel ik dit standpunt met veel van de tegenstanders ervan.

Hier wil ik in plaats daarvan een positieve visie uiteenzetten over de toekomst van de wiskunde en de menselijke praktijk van de wiskunde. Ik stel dat we het menselijk begrip kunnen verdiepen, zelfs terwijl de productie van interessante wiskunde minder afhankelijk wordt van dat begrip.

Dit essay gaat uit van de premisse dat AI-systemen die robuust superieur zijn aan mensen op de meeste of alle aspecten van de wiskunde spoedig aanwezig zullen zijn. Maar de concrete veranderingen in onze instituties die ik voorstel, vereisen enkel de zwakkere premisse dat de productie van wiskundige teksten steeds meer losgekoppeld raakt van wiskundig begrip.

Wat proberen we hier eigenlijk te bereiken?

Ik denk dat inmiddels duidelijk is geworden dat er binnen de wiskundige gemeenschap geen consensus bestaat over wat onze doelen zijn. Sommigen van ons willen problemen oplossen; anderen zien wiskunde als spel of als poëzie. Voor sommigen geldt: „Wir müssen wissen – wir werden wissen“ [2]. Sommigen denken dat we doordringen tot de mysteries van het platonische rijk. Anderen vinden dat het doel is om liefde voor en begrip van wiskunde te belichamen [3], en die liefde en dat begrip over te dragen op de volgende generatie.

Mijn persoonlijke, zij het zelfreferentiële, antwoorden zijn:

• We proberen hoogwaardige wiskunde te produceren en te begrijpen.
• We proberen hoogwaardige wiskundigen op te leiden.

Deze doelen moeten breed worden geïnterpreteerd. Wat hoogwaardige wiskunde inhoudt, is in de loop der tijd drastisch veranderd; we komen als gemeenschap tot een definitie. We leiden niet alleen PhD-studenten op om onderzoek te doen in de wiskunde. Een substantieel deel van ons werk, hoewel wellicht onderbelicht, is het informeren van het grote publiek over hoogwaardige wiskunde en wiskundig denken [4].

Wat onze doelen ook zijn, we hebben ze primair geoperationaliseerd via het bewijzen van stellingen. Bijna alle papers of PhD-proefschriften hebben een hoofdstelling, en schijnbaar een bewijs daarvan. Maar het moet duidelijk zijn dat het doel van de wiskunde niet is om stellingen te bewijzen; als dat zo was, zou het triviaal zijn om dit te automatiseren. Een computer of een aap zou eenvoudigweg kunnen beginnen bij de axioma's van ZFC en iteratief deductieregels toepassen, zonder enige aandacht te besteden aan de betekenis ervan. Het heeft een bijzondere betekenis wanneer een stelling een openstaand probleem oplost, vooral een probleem waar veel moeite in is gestoken. Ook dit is eenvoudig te automatiseren; onze computer of aap kan simpelweg alle wiskundige proposities in alfabetische volgorde poneren.

De algemene houding van onze gemeenschap tegenover een technologie die stellingen kan bewijzen en openstaande problemen kan oplossen, suggereert dat deze operationalisaties van onze waarden hooguit onvolledig zijn.

Het vooruitzicht om de wiskunde te automatiseren door alle conjecturen en alle bewijzen van ZFC op te sommen, is waarschijnlijk niet zo verontrustend voor u. Maar laten we voor een moment aannemen dat de computer of aap zeer slim is; misschien begrijpt hij de resultaten die hij bewijst en schrijft hij prachtige uiteenzettingen daarover. Misschien heeft hij een goed gevoel voor wat wij interessant vinden en richt hij zich primair op die vragen. Misschien heeft hij, in het proces van het opsommen van stellingen van ZFC, veel van onze meest urgente openstaande vragen beantwoord en stelt hij veel meer fundamentele open vragen. Is er dan nog steeds behoefte aan menselijke wiskundigen?

Ik denk van wel. Deze machine kan antwoorden produceren die wij waarderen, maar hij zou op zichzelf geen menselijk begrip van die antwoorden produceren. Sterker nog, ik denk dat we aan het begin staan van een ongelooflijke, prachtige explosie van wiskunde, en als we menselijk begrip waarderen, zal er meer behoefte zijn aan menselijke wiskundigen dan ooit tevoren. Maar het beroep zal moeten veranderen.

In het kader van deze verandering zullen we moeten beslissen wat we behouden en wat we weggooien. Enkele zaken die ik zou willen behouden: leerseminars; toevallige gesprekken die een idee aanwakkeren; studenten die bij een professor aan de deur kloppen om over wiskunde te kletsen. Een robuuste gemeenschap die spannende nieuwe wiskunde leert. Duizenden mensen die samen langzaam hun verwarring beginnen op te lossen.

Ik vrees dat veel van wat er over dit onderwerp is geschreven, inclusief sommige van mijn eigen eerdere teksten, zich te veel richt op het proberen te behouden van de precieze vorm van de instituties van de academische wiskunde, in plaats van onze waarden. Hoe kunnen we het systeem van tijdschriften en peer review behouden? [5] Hoe kunnen we de arXiv beschermen? Hoe kunnen we onze rol als poortwachters behouden? Als je hebt geïnternaliseerd dat bestaande AI-systemen relatief hoogwaardige resultaten kunnen produceren voor de marginale kosten van een paar dollar, dan is het idee dat enig schijnsel van het huidige evenwicht kan overleven wat er komt, absurd.

Terwijl we proberen een nieuw evenwicht te vinden, zouden we de neiging kunnen hebben om de randen van de mogelijkheden van de modellen te volgen. Op dit moment presteren AI-systemen naar alle waarschijnlijkheid slechter dan wij in theorievorming, het stellen van vragen, uiteenzettingen, enz. We zouden die vaardigheden dus kunnen prioriteren en belonen. Ik denk dat dit onverstandig is: vergelijk de snelheid waarmee de academie zich aanpast met de snelheid waarmee de mogelijkheden van de modellen verbeteren. We moeten rekening houden met het eindspel. Als de modellen in een bepaald domein tekort blijven schieten, kunnen we dat later aanpassen.

Voordat ik enkele relatief concrete stappen voorstel die we kunnen nemen, wil ik opmerken waar we de wiskunde tegen proberen te beschermen. Er is veel woede over AI-labs en bepaalde individuen bij die labs. Maar ongeacht ons oordeel over de labs, hebben we een plan nodig dat niet afhankelijk is van het verdwijnen van AI-mogelijkheden. Het basisprobleem is niet het gedrag van de labs, ethisch of niet [6]. Het is de technologie zelf. Er is blijkbaar een geloof dat de labs volgend jaar zullen "doorgaan" naar iets anders, genationaliseerd of opgesplitst zullen worden, of dat een financiële zeepbel zal knappen, waardoor de zaken op een manier terugkeren naar het normale, of... Maar er is geen manier waarop onze instituties ongewijzigd kunnen overleven wanneer iedereen met een laptop en een paar honderd dollar kan genereren wat vorig jaar een Annals-paper zou zijn geweest. AI geeft niet om het feit of je anti-AI bent.

Het opleiden van hoogwaardige wiskundigen

De meest urgente vraag die ons vakgebied nu moet beantwoorden is: wat zouden onze studenten moeten doen? Het is nu mogelijk om een PhD-thesis te produceren die men zelf niet eens heeft gelezen; in termen van het aantonen van begrip is een wiskundige tekst niet meer waard dan het papier waarop hij is gedrukt [7]. De waarde van de tekst geeft niet langer een betrouwbaar signaal over de persoon die deze heeft geproduceerd.

Naar mijn mening moeten we interessante wiskundige resultaten verwelkomen, ongeacht de herkomst. Maar onze instituties hebben historisch gezien vertrouwd op hetzelfde signaal om zowel wiskundige vooruitgang als wiskundige expertise aan te geven. Deze moeten nu van elkaar worden gescheiden.

Ik stel de volgende reconceptualisering van het doel van een PhD in de wiskunde voor: een wereldexpert worden in een interessant, diepgaand onderwerp, en in staat zijn om die interesse en dat begrip over te brengen op anderen. Een thesis kan onderdeel zijn van de operationalisering hiervan, maar de graad zou primair worden toegekend op basis van een rigoureuze verdediging, waarin de student het onderwerp uitlegt aan de examinatoren tot zij tevreden zijn. Hoewel we kunnen eisen dat het onderwerp origineel is, is de herkomst — AI of niet — irrelevant [8].

Hoe zou dit verschillen van huidige PhD's? Ik denk dat studenten nog steeds overleg zouden hebben met een promotor, die een onderwerp zou kunnen suggereren. Dat onderwerp zou met AI-ondersteuning kunnen worden verkend, of zonder, maar de student zou verantwoordelijk zijn voor het begrijpen ervan; het zou veel opener en groter kunnen zijn dan de typische PhD momenteel is. De student zou worden getraind om interessante vragen te stellen en te proberen deze op te lossen, met welke middelen dan ook. Om studenten op koers te houden, zouden er regelmatige bijeenkomsten kunnen zijn waarin de student wordt gevraagd om onafhankelijk een onbekend voorbeeld uit te werken, een techniek in een nieuwe casus toe te passen, enz.

De allocatieve aspecten van ons werk (aanname, toelating tot promotieopleidingen, enz.) zijn dringend in nood van hervorming als we menselijke wiskundige expertise willen behouden. In brede zin denk ik dat we ons moeten richten op het belonen van vaardigheden in de delen van ons werk die niet kunnen worden geautomatiseerd: de interne (bijv. het begrijpen van wiskunde) en sociaal-relationele delen, en operationalisaties die zo dicht mogelijk bij die aspecten van het beroep liggen. Bijvoorbeeld, presentaties en aanhoudende wiskundige discussies tonen begrip nu veel beter aan dan papers. Zodra AI-systemen verbeteren in uiteenzetting en "vertering", zal dit nog sterker het geval zijn. We interviewen al kandidaten voor faculteitsposities; we moeten nu hetzelfde doen voor de toelating tot PhD-programma's.

Ik denk dat we een robuuste seminarcultuur moeten koesteren waarin van sprekers wordt verwacht dat ze hun onderwerp tot tevredenheid van het publiek uitleggen. Er is onlangs veel geschreven (onder andere door mijzelf) over het feit dat we primair geïnteresseerd zijn in begrip, en niet slechts in de waarheidswaarde van wiskundige beweringen. Als dat het geval is, laten we er dan voor zorgen dat we elkaar daadwerkelijk begrijpen.

Op dit moment is het gebruik van AI-systemen voor wiskunde boven een bepaalde minimumgrens gebaseerd op het feit dat onze gemeenschap veel openstaande conjecturen heeft geproduceerd, waarvan de interesse wordt bewezen door het bestaan van menselijke wiskundigen die ze belangrijk vinden [9]. Het recente belang van dit feit suggereert dat onze gemeenschap een zeer belangrijke functie vervult die we, naar mijn mening, hebben onderschat: namelijk bepalen wat interessant is. Het is voor mij niet geheel duidelijk hoe we dit moeten operationaliseren, maar een mogelijkheid zou kunnen zijn om het construeren van onderzoeksprogramma's te belonen (of dat nu met hulp van AI-systemen is of anders) die anderen overtuigen van hun waarde.

Om duidelijk te zijn: ik zeg niet dat AI-systemen niet in staat zullen zijn om interessante vragen te stellen, interessante conjecturen te maken, interessante programma's na te streven, enzovoort. Ik denk dat ze dat zeer waarschijnlijk wel zullen doen, wat zal resulteren in de productie van een overvloed aan PDF's. De inhoud van sommige van die PDF's kan zelfs belangrijke toepassingen hebben. Maar andere zullen primair interessant zijn omdat ze ons iets fundamenteels vertellen over basiswiskundige objecten, en ze krijgen alleen waarde als we ermee kunnen en willen communiceren. Het lijkt me dat het aan ons is om een gemeenschap van onderzoekers op te bouwen om dat te doen, en we zouden wiskundigen moeten belonen die dat doen. En zelfs als de AI uitstekende vragen stelt, is er geen reden om aan te nemen dat hij dezelfde vragen stelt als wij zouden doen.

Al deze veranderingen zijn gericht op het vergroten van de hoeveelheid waarin we met elkaar over wiskunde praten. Het lijkt me dat dit positief zou zijn, zelfs in een wereld zonder AI.

Ik denk dat er in deze wereld ruimte is voor zowel wiskundigen die, zoals ik, enthousiast zijn over AI, als voor hen die het niet gebruiken. Maar naarmate de modellen enorme hoeveelheden wiskunde gaan produceren, zal het onmogelijk zijn om hun output volledig te vermijden.

Het produceren van hoogwaardige wiskunde

Terwijl we nadenken over hoe we ons beroep moeten hervormen, is het belangrijk om te begrijpen dat, of men nu wil of niet [10], het onmogelijk is om mensen, amateurs of professionals, te stoppen om op een knop te drukken om wiskunde te produceren. Het idee dat we mensen kunnen overtuigen om niet met wiskunde te spelen, of dat we in staat zullen zijn om problemen te "reserveren" voor PhD-studenten, is simpelweg niet realistisch [11]. En dat zouden we ook niet willen!

Er is nu meer interesse in wiskunde dan in enig ander tijdperk in de geschiedenis. We zouden hiervoor enthousiast moeten zijn omwille van de wiskunde, zelfs terwijl we ons zorgen maken over wiskundigen en wiskundige expertise. En over het algemeen komt de waarde van dit "op de knop drukken" voort uit de wiskundige gemeenschap. Als een conjectuur in het bos valt en er is niemand om hem te horen, wie maakt zich dan druk? [12] Om de overvloed aan nieuwe wiskunde waarde te geven buiten directe toepassingen, hebben we een overvloed aan nieuwe wiskundigen nodig. En voor resultaten met toepassingen willen we mensen hebben die in staat zijn om de aannames en consequenties ervan te begrijpen.

Ik schreef eerder dat het oplossen van problemen en het beantwoorden van openstaande conjecturen een onvolledige operationalisering van onze waarden is. Maar niettemin is het belangrijk om problemen op te lossen en conjecturen te beantwoorden! De herkomst van dergelijke oplossingen doet er alleen toe voor zover deze kruist met de bestaande structuur van het beroep (prikkels, prestige, enzovoort). Het is overduidelijk dat die structuur in ieder geval moet veranderen.

Wiskunde was vroeger de goedkoopste van de wetenschappen. Ik denk dat de grootste verandering waar we voor staan is dat nu een deel van onze vragen beantwoord kan worden via een financiële injectie. Ik weet dat sommige van mijn collega's dit verontrustend vinden. Voorheen zouden die vragen een onderzoeksgemeenschap kunnen samenbrengen, leiden tot interessante nevenontwikkelingen, enzovoort. Deze contingent progressie vindt nu wellicht niet meer plaats.

Maar geloof je dan niet in de wiskunde!? Er zal altijd meer te leren zijn. Als een basisvraag kan worden beantwoord voor de kosten [13] van een leuk diner, zouden we verheugd moeten zijn. Maar dat is slechts het begin. We zullen ons afvragen wat het antwoord verklaart en wat het ons helpt te begrijpen. Het zal leiden tot nog veel meer nieuwe vragen, waarvan sommige op hun beurt kunnen worden beantwoord voor de kosten van een leuk diner, en andere die onze verwarring vernieuwen en leiden tot de ontwikkeling van een onderzoeksgemeenschap.

Onze ijverige nieuwe helpers zullen een ongelooflijke hoeveelheid wiskunde produceren, waarbij ze onze interesses of misschien die van henzelf najagen. We zullen onze eigen vragen en verwarringen hebben; soms zullen deze worden opgelost door de modellen, en soms niet. Soms zullen de antwoorden ingewikkeld zijn, en zullen we er een leerseminar aan wijden. Soms zal de vooruitgang minimaal zijn, maar zal de vraag zelf zo motiverend zijn dat hij een onderzoeksgemeenschap doet ontstaan.

Een student zal in de war zijn. Ze zullen bij hun professor aan de deur kloppen. Misschien zullen ze samen een model om hulp vragen, of misschien niet, maar eerst zullen ze wellicht enige tijd bij het schoolbord besteden om over de vraag na te denken. En het model kan hen een prachtige uitleg geven, maar we weten allemaal dat dat niet genoeg is; niemand kan wiskunde voor ons begrijpen. We moeten het werk zelf doen.

Er is zoveel meer om te leren — een oneindige hoeveelheid. We zijn altijd aan het begin geweest, en dat zullen we altijd blijven.

***

Dankwoord

Ik ben dankbaar voor de opmerkingen van Mohammed Abouzaid, alz, Boaz Barak, Frank Calegari, Ben Church, Jennifer Cutler, doomslide, Elden Elmanto, Francesco Fournier-Facio, Tony Feng, Dan Freed, Peli Grietzer, Michael Groechenig, Stephanie Koh, Joshua Lam, Mark Sellke, Ravi Vakil, en Amal Vayalinkal.

Voetnoten

[1] Ik heb spijt dat ik deze titel heb gekozen.

[2] De volledige mening van Hilbert is vandaag de dag nog steeds relevant: ‘We mogen niet geloven in hen die vandaag, met een filosofische houding en een beraadslappende toon, de val van de cultuur voorspellen en het ignorabimus accepteren. Voor ons is er geen ignorabimus, en naar mijn mening in de natuurwetenschap helemaal niet. Tegenover het dwaasachtige ignorabimus zal ons motto zijn: Wir müssen wissen – wir werden wissen (“We moeten weten – we zullen weten”).’

[3] Ik dank Peli Grietzer voor deze formulering.

[4] Merk op dat deze lijst voornamelijk bestaat uit interne en sociaal-relationele functies (begrip, bepalen van wat interessant is, training, enz.). Dit staat in contrast met onze operationalisaties (stellingen bewijzen, problemen oplossen, enz.).

[5] Dit systeem was al bijna kapot voordat AI kwam; een radicale hervorming is allang overvorig.

[6] Overduidelijk is een deel hiervan niet ethisch geweest. Maar zelfs als elk lab zich perfect had gedragen, zouden de mogelijkheden van AI-systemen ons dwingen onze instituties radicaal aan te passen.

[7] Dit wil niet zeggen dat de tekst noodzakelijkerwijs oninteressant is.

[8] Dit is een praktische noodzaak. Er is geen manier om restricties op herkomst af te dwingen, en pogingen daartoe zullen alleen maar prikkels creëren om het gebruik van AI te verbergen. Maar ik vind het onwaarschijnlijk dat iemand wiens enige bijdrage het indrukken van een knop was, en die zich niet diepgaand met het materiaal heeft beziggehouden, in staat zou zijn om een rigoureuze verdediging te doorstaan.

[9] Om duidelijk te zijn, veel openstaande conjecturen zijn achteraf gezien minder interessant dan men had gehoopt, en zijn over het algemeen geen doel op zich. Ze zijn vaak bedoeld om ons onvermogen om een bepaald object te begrijpen te meten, maar ze worden soms opgelost zonder dat dit begrip verbetert.

[10] In balans denk ik dat ik het leuk vind, hoewel ik soms geërgerd ben om "slop" PDF's in mijn inbox te vinden. Het kostte me enige tijd om te begrijpen dat deze PDF's een behoefte aan begrip uitdrukten; een persoon lokte ze uit, vaak zonder in staat te zijn betekenisvol met de inhoud bezig te zijn, en had nodig om te weten dat iemand ze kon begrijpen en dat iemand erom gaf.

[11] Dat we een probleem niet kunnen reserveren voor een PhD-student, betekent niet dat we hen niet de kans kunnen geven er aan te werken. Dit is compatibel met de eerder beschreven reconceptualisering van een PhD.

[12] Sommigen hebben gesuggereerd dat de interesse in het gebruik van AI om wiskundige vragen te beantwoorden binnenkort zal afnemen. Ik vind het moeilijk voor me te zien hoe dit zal gebeuren, zolang vragen waar we om geven onbeantwoord blijven.

[13] Hiermee bedoel ik marginale kosten. Michael Groechenig wijst me erop dat het onduidelijk is of we de kosten van een machine die een stelling bewijst rechtstreeks moeten vergelijken met de kosten van een mens die dat doet, aangezien de producten van dit werk waarschijnlijk verschillend zijn. Slechts één van hen produceert begrip en expertise in een mens, iets wat we mogelijk onafhankelijk van het resultaat zelf waarderen.