Het artikel beschrijft de Flat Cube, een puzzel bestaande uit ruiten (lozenges) die in groepen van drie kunnen worden gedraaid. De kern van het artikel is het zoeken naar 'Gods getal': het minimale aantal zetten dat nodig is om de meest complexe hussel op te lossen.
De auteur toont aan dat dit getal voor de Flat Cube minstens 27 is via twee theoretische benaderingen:
- Een dimensie toevoegen: Het visualiseren van de puzzel als het vullen van een 3x3x3 bak met kubussen, waarbij elke zet één kubus toevoegt of verwijdert.
- Een dimensie wegnemen: Het beschouwen van de ruiten als kralen op een abacus, waarbij elke kraal een bepaald aantal stappen moet verschuiven om de eindtoestand te bereiken.
Verder wordt besproken hoe deze wiskundige theorie is omgezet in een fysiek object, de Propp Twist. Het artikel eindigt met updates over verschillende varianten: de Order-2 Flat Cube heeft een Gods getal van 27, terwijl de Order-3 variant minstens 81 zetten vereist.
De Flat Cube Oplossen
Stel je voor dat een open vrachtwagen vol met Rubik's Cubes over een drempel reed, waardoor sommige kubussen uit de bak op de weg vielen. Wanneer deze momenten later werden overreden door een magische schoolbus, gebeurde er iets onverwachts: de plastic onderdelen van elke platgewalste kubus bleven aan elkaar plakken en vormden een puzzel van een ander soort—een puzzel die er alleen driedimensionaal uitziet.
Ik noem het de Flat Cube. De onderdelen zijn ruiten (lozenges). Overal waar drie ruiten samenkomen om een kleine zeshoek te vormen, kun je die drie ruiten als één geheel rond het centrum van die zeshoek draaien in stappen van 60 graden.
De uitdaging is om een gehusselde Flat Cube met zo min mogelijk draaiingen terug te brengen naar de ongestoorde, platte staat. Dat leidt tot de vraag: als de Duivel de puzzel zo kwaadaardig mogelijk husselt, hoeveel draaiingen heeft God dan nodig om hem op te lossen?
We gaan ervan uit dat God, hoewel almachtig, strikt de regels van de puzzel volgt. We geven zowel God als de Duivel onbeperkte rekenkracht; God kan altijd de meest directe oplossing vinden voor elke hussel die de Duivel bedenkt, terwijl de Duivel die oplossing zo lang mogelijk wil maken.
In het geval van de Rubik's Cube is dit magische getal—het aantal zetten dat God nodig heeft tegen de meest verraderlijke hussel van de Duivel—"Gods getal" genoemd. Voor de Rubik's Cube staat vast dat Gods getal 20 is als een draaiing van 180 graden als één zet telt, en 26 als een draaiing van 180 graden als twee zetten telt.
Voor de Flat Cube ken ik Gods getal niet. Maar of je nu draaiingen in stappen van 60 graden telt, of een draaiing over elke willekeurige hoek als één zet beschouwt, ik kan aantonen dat Gods getal voor de Flat Cube ten minste 27 is.
Er zijn twee visuele manieren om in te zien waarom dit zo is: één werkt door een dimensie toe te voegen, de andere door een dimensie weg te nemen.
Een dimensie toevoegen
Wanneer je goed naar de Flat Cube kijkt, kun je duizelig worden. Leun in dit gevoel; het probeert je te helpen.
Je ogen vertellen je dat de Flat Cube niet plat is, en in zekere zin hebben ze gelijk. Hoewel de Flat Cube in de echte wereld plat is, is er niets dat je tegenhoudt om in je hoofd een Flat Cube te zien die niet plat is. Je kunt doen alsof die ruiten vierkanten zijn in een driedimensionale ruimte, bekeken vanuit een schuine hoek, die samen een soort trapsgewijs oppervlak vormen. Dat imaginaire oppervlak laat ons zien waar het getal 27 vandaan komt.
Elke manier om de grote buitenste zeshoek te vullen met ruiten—zodat er geen gaten of overlappingen zijn—correspondeert met een manier om kubussen op te stapelen.
Stel je de drie ruiten die de kleine zeshoek vormen als de zichtbare zijvlakken van één enkele kubus van 1x1x1. Gezien vanuit dit perspectief wordt de zeshoek-draaiing de operatie van het toevoegen of verwijderen van een kubus.
Om dit proces voor elke betegening (tiling) van onze grote zeshoek te laten werken, moet je je veel 1x1x1 kubussen voorstellen die in een bijzondere soort bak rusten. Denk aan een lege doos van 3x3x3 die op één hoek rust, waarbij de drie bovenste vlakken zijn verwijderd. De drie resterende vlakken vormen onze bak. De bodem en zijden van de bak zijn verdeeld in vakken van 1x1.
Een betegening zonder kleuren kan nu worden gezien als een lege bak of een volledig gevulde bak. De lege bak bevat geen kubussen; de volledig gevulde bak bevat $3 \times 3 \times 3 = 27$ kubussen, waarvan sommige verborgen zijn onder andere.
Nu is duidelijk waarom het minstens 27 zetten kost om een lege bak om te vormen tot een volle: we beginnen met nul kubussen en eindigen met een volle bak, waarbij elke zet precies één kubus toevoegt of verwijdert. Als we de kleuren negeren, hebben we dus een toestand gevonden die minstens 27 zetten verwijderd is van de opgeloste staat.
Als we de kleuren weer toevoegen, wordt de puzzel alleen maar moeilijker, omdat alle kleuren op de juiste plek moeten eindigen. De Duivel kan God dus ook bij de gekleurde Flat Cube dwingen om minstens 27 zetten te gebruiken.
Een dimensie wegnemen
Voor het tweede argument negeren we opnieuw de kleuren. Vanuit dit kleurblinde perspectief laat een zeshoek-draaiing de betegening ofwel ongewijzigd, of verplaatst hij de drie ruiten binnen de zeshoek naar de andere kant. We kunnen elke effectieve zet dus beschouwen als een draaiing van 180 graden.
Laten we naar deze betegeningen kijken door ons alleen te concentreren op de ruiten waarvan de lange as horizontaal is, en doen alsof de andere ruiten er niet zijn. Een draaiing van 180 graden komt nu neer op het verschuiven van een van die horizontale ruiten één stap omhoog of omlaag, zoals een kraal op een abacus.
Hoewel de ruit strikt genomen roteert en ondersteboven terechtkomt, kunnen we dit negeren omdat de ruit kenmerkloos is; we kunnen doen alsof hij simpelweg is verschoven.
Beschouw nu twee uiterste toestanden van de betegening:
- In de ene configuratie bevinden alle horizontale ruiten (kralen) zich aan de onderkant.
- In de andere configuratie bevinden ze zich aan de bovenkant.
Omdat een kraal niet van de ene draad naar de andere kan springen, en kralen op dezelfde draad elkaar niet kunnen passeren, moet elke kraal die op positie 1 begint, naar positie 4 op dezelfde draad bewegen. Elke kraal op positie 2 moet naar positie 5, en de kraal op positie 3 moet naar positie 6.
Kortom: elke van de 9 kralen moet 3 stappen omhoog verschuiven. Aangezien elke draaiing slechts één kraal één stap verschuift, zijn er minstens $9 \times 3 = 27$ draaiingen nodig.
Men kan dit argument (of het argument met de kubussen) verder uitbreiden om te bewijzen dat het worst-case aantal zetten voor de ongekleurde puzzel exact 27 is.
Van theorie naar praktijk
Tot onlangs bestond de Flat Cube niet fysiek. Toen ik een fellowship kreeg van het Radcliffe Institute for Advanced Study voor het academisch jaar 2026–2027, wilde ik mijn kantoor uitrusten met een Flat Cube. Ik wilde iets concreets en leuks kunnen laten zien aan collega's die vragen waar ik aan werk.
Mijn interesse in betegeningen begon in de late jaren 80 door een artikel van wiskundige William Thurston, die de intuïtieve brug sloeg tussen het roteren van zeshoeken en het toevoegen of aftrekken van kubussen. In mijn "imaginarium" van wiskundige objecten zwermden betegeningen die van de ene naar de andere staat morfden. In de echte wereld gaat dat echter lastiger; als je probeert drie ruiten in een zeshoek te draaien, zitten de omliggende ruiten in de weg.
Ik vroeg puzzelontwerper Oskar van Deventer of hij een object kon maken waarvan de stukken echt op deze manier bewogen. Na drie ontwerpen en wat verfijning door puzzelontwerper Dmitry Andreev (Pluton), ontstond het resultaat: de Propp Twist.
Wat is nu Gods getal voor de Flat Cube? Ik weet het nog niet. Er is zelfs een bredere vraag: wat als de Duivel zowel de begin- als de doelbetegening mag kiezen? Dit is in feite een vraag over de cartografie van het land van betegeningen, waarbij elke betegening een stad is en elke zet een weg.
Voetnoten
- Ik heb het woord "imaginarium" niet bedacht, maar ik heb het zelden gezien in beschrijvingen van het doen van wiskunde; ik hoop dat meer wiskundigen het gaan gebruiken om de wiskundige wereld te beschrijven die we in ons hoofd bouwen.
- Wiskundige Nicolau Saldanha heeft bewezen dat elke betegening die 9 rode, 9 groene en 9 gele ruiten gebruikt om een zeshoek met zijlengte 3 te vullen, verkregen kan worden uit elke andere zodanige betegening door een reeks zeshoek-rotaties.
- Ik heb hierover een presentatie gegeven getiteld Spaces of tilings ter ere van de verjaardag van Nicolau, en een geüpdatete versie getiteld Bringing tiling theory to new heights and vice versa tijdens een conferentie voor Rick Kenyon.
- Voor achtergrondinformatie over het voorgestelde werk, zie mijn Radcliffe-onderzoeksvoorstel.
Referenties
- Oskar van Deventer, Propp Tiles, Propp Lozenge, Propp Turner, and Propp Twist (video's).
- God’s Number is 20 (website).
- Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, and John Dethridge, The Diameter of the Rubik’s Cube Group Is Twenty, SIAM Journal on Discrete Mathematics, vol. 27, no. 2 (2013).
- Grant Sanderson (3Blue1Brown), Solving problems by adding a dimension.
- William Thurston, Conway’s Tiling Groups, American Mathematical Monthly 97 (1990), no. 8, pp. 757–773.
Updates (21 augustus 2026)
Order-2 Flat Cube (2x2x2): Tom Rokicki heeft bewezen dat Gods getal voor de order-2 Flat Cube 27 is. Vanuit elke toestand kun je in maximaal 27 zetten bij de oplossing komen. Echter, als de Duivel zowel de start- als de eindtoestand mag kiezen, zijn er twee posities die 30 zetten van elkaar verwijderd zijn. In deze berekening telt een draaiing van 60 graden als één zet, 120 graden als twee zetten en 180 graden als drie zetten.
Order-3 Flat Cube: Rui Viana heeft een algebraïsch bewijs gevonden dat Gods getal voor de order-3 Flat Cube minstens 81 is. Tom Rokicki heeft daarnaast een paar toestanden gevonden die 91 zetten van elkaar verwijderd zijn.
De Flat Cube Oplossen
Stel je voor dat een open vrachtwagen vol met Rubik's Cubes over een drempel reed, waardoor sommige kubussen uit de bak op de weg vielen. Wanneer deze momenten later werden overreden door een magische schoolbus, gebeurde er iets onverwachts: de plastic onderdelen van elke platgewalste kubus bleven aan elkaar plakken en vormden een puzzel van een ander soort—een puzzel die er alleen driedimensionaal uitziet.
Ik noem het de Flat Cube. De onderdelen zijn ruiten (lozenges). Overal waar drie ruiten samenkomen om een kleine zeshoek te vormen, kun je die drie ruiten als één geheel rond het centrum van die zeshoek draaien in stappen van 60 graden.
De uitdaging is om een gehusselde Flat Cube met zo min mogelijk draaiingen terug te brengen naar de ongestoorde, platte staat. Dat leidt tot de vraag: als de Duivel de puzzel zo kwaadaardig mogelijk husselt, hoeveel draaiingen heeft God dan nodig om hem op te lossen?
We gaan ervan uit dat God, hoewel almachtig, strikt de regels van de puzzel volgt. We geven zowel God als de Duivel onbeperkte rekenkracht; God kan altijd de meest directe oplossing vinden voor elke hussel die de Duivel bedenkt, terwijl de Duivel die oplossing zo lang mogelijk wil maken.
In het geval van de Rubik's Cube is dit magische getal—het aantal zetten dat God nodig heeft tegen de meest verraderlijke hussel van de Duivel—"Gods getal" genoemd. Voor de Rubik's Cube staat vast dat Gods getal 20 is als een draaiing van 180 graden als één zet telt, en 26 als een draaiing van 180 graden als twee zetten telt.
Voor de Flat Cube ken ik Gods getal niet. Maar of je nu draaiingen in stappen van 60 graden telt, of een draaiing over elke willekeurige hoek als één zet beschouwt, ik kan aantonen dat Gods getal voor de Flat Cube ten minste 27 is.
Er zijn twee visuele manieren om in te zien waarom dit zo is: één werkt door een dimensie toe te voegen, de andere door een dimensie weg te nemen.
Een dimensie toevoegen
Wanneer je goed naar de Flat Cube kijkt, kun je duizelig worden. Leun in dit gevoel; het probeert je te helpen.
Je ogen vertellen je dat de Flat Cube niet plat is, en in zekere zin hebben ze gelijk. Hoewel de Flat Cube in de echte wereld plat is, is er niets dat je tegenhoudt om in je hoofd een Flat Cube te zien die niet plat is. Je kunt doen alsof die ruiten vierkanten zijn in een driedimensionale ruimte, bekeken vanuit een schuine hoek, die samen een soort trapsgewijs oppervlak vormen. Dat imaginaire oppervlak laat ons zien waar het getal 27 vandaan komt.
Elke manier om de grote buitenste zeshoek te vullen met ruiten—zodat er geen gaten of overlappingen zijn—correspondeert met een manier om kubussen op te stapelen.
Stel je de drie ruiten die de kleine zeshoek vormen als de zichtbare zijvlakken van één enkele kubus van 1x1x1. Gezien vanuit dit perspectief wordt de zeshoek-draaiing de operatie van het toevoegen of verwijderen van een kubus.
Om dit proces voor elke betegening (tiling) van onze grote zeshoek te laten werken, moet je je veel 1x1x1 kubussen voorstellen die in een bijzondere soort bak rusten. Denk aan een lege doos van 3x3x3 die op één hoek rust, waarbij de drie bovenste vlakken zijn verwijderd. De drie resterende vlakken vormen onze bak. De bodem en zijden van de bak zijn verdeeld in vakken van 1x1.
Een betegening zonder kleuren kan nu worden gezien als een lege bak of een volledig gevulde bak. De lege bak bevat geen kubussen; de volledig gevulde bak bevat $3 \times 3 \times 3 = 27$ kubussen, waarvan sommige verborgen zijn onder andere.
Nu is duidelijk waarom het minstens 27 zetten kost om een lege bak om te vormen tot een volle: we beginnen met nul kubussen en eindigen met een volle bak, waarbij elke zet precies één kubus toevoegt of verwijdert. Als we de kleuren negeren, hebben we dus een toestand gevonden die minstens 27 zetten verwijderd is van de opgeloste staat.
Als we de kleuren weer toevoegen, wordt de puzzel alleen maar moeilijker, omdat alle kleuren op de juiste plek moeten eindigen. De Duivel kan God dus ook bij de gekleurde Flat Cube dwingen om minstens 27 zetten te gebruiken.
Een dimensie wegnemen
Voor het tweede argument negeren we opnieuw de kleuren. Vanuit dit kleurblinde perspectief laat een zeshoek-draaiing de betegening ofwel ongewijzigd, of verplaatst hij de drie ruiten binnen de zeshoek naar de andere kant. We kunnen elke effectieve zet dus beschouwen als een draaiing van 180 graden.
Laten we naar deze betegeningen kijken door ons alleen te concentreren op de ruiten waarvan de lange as horizontaal is, en doen alsof de andere ruiten er niet zijn. Een draaiing van 180 graden komt nu neer op het verschuiven van een van die horizontale ruiten één stap omhoog of omlaag, zoals een kraal op een abacus.
Hoewel de ruit strikt genomen roteert en ondersteboven terechtkomt, kunnen we dit negeren omdat de ruit kenmerkloos is; we kunnen doen alsof hij simpelweg is verschoven.
Beschouw nu twee uiterste toestanden van de betegening:
- In de ene configuratie bevinden alle horizontale ruiten (kralen) zich aan de onderkant.
- In de andere configuratie bevinden ze zich aan de bovenkant.
Omdat een kraal niet van de ene draad naar de andere kan springen, en kralen op dezelfde draad elkaar niet kunnen passeren, moet elke kraal die op positie 1 begint, naar positie 4 op dezelfde draad bewegen. Elke kraal op positie 2 moet naar positie 5, en de kraal op positie 3 moet naar positie 6.
Kortom: elke van de 9 kralen moet 3 stappen omhoog verschuiven. Aangezien elke draaiing slechts één kraal één stap verschuift, zijn er minstens $9 \times 3 = 27$ draaiingen nodig.
Men kan dit argument (of het argument met de kubussen) verder uitbreiden om te bewijzen dat het worst-case aantal zetten voor de ongekleurde puzzel exact 27 is.
Van theorie naar praktijk
Tot onlangs bestond de Flat Cube niet fysiek. Toen ik een fellowship kreeg van het Radcliffe Institute for Advanced Study voor het academisch jaar 2026–2027, wilde ik mijn kantoor uitrusten met een Flat Cube. Ik wilde iets concreets en leuks kunnen laten zien aan collega's die vragen waar ik aan werk.
Mijn interesse in betegeningen begon in de late jaren 80 door een artikel van wiskundige William Thurston, die de intuïtieve brug sloeg tussen het roteren van zeshoeken en het toevoegen of aftrekken van kubussen. In mijn "imaginarium" van wiskundige objecten zwermden betegeningen die van de ene naar de andere staat morfden. In de echte wereld gaat dat echter lastiger; als je probeert drie ruiten in een zeshoek te draaien, zitten de omliggende ruiten in de weg.
Ik vroeg puzzelontwerper Oskar van Deventer of hij een object kon maken waarvan de stukken echt op deze manier bewogen. Na drie ontwerpen en wat verfijning door puzzelontwerper Dmitry Andreev (Pluton), ontstond het resultaat: de Propp Twist.
Wat is nu Gods getal voor de Flat Cube? Ik weet het nog niet. Er is zelfs een bredere vraag: wat als de Duivel zowel de begin- als de doelbetegening mag kiezen? Dit is in feite een vraag over de cartografie van het land van betegeningen, waarbij elke betegening een stad is en elke zet een weg.
Voetnoten
- Ik heb het woord "imaginarium" niet bedacht, maar ik heb het zelden gezien in beschrijvingen van het doen van wiskunde; ik hoop dat meer wiskundigen het gaan gebruiken om de wiskundige wereld te beschrijven die we in ons hoofd bouwen.
- Wiskundige Nicolau Saldanha heeft bewezen dat elke betegening die 9 rode, 9 groene en 9 gele ruiten gebruikt om een zeshoek met zijlengte 3 te vullen, verkregen kan worden uit elke andere zodanige betegening door een reeks zeshoek-rotaties.
- Ik heb hierover een presentatie gegeven getiteld Spaces of tilings ter ere van de verjaardag van Nicolau, en een geüpdatete versie getiteld Bringing tiling theory to new heights and vice versa tijdens een conferentie voor Rick Kenyon.
- Voor achtergrondinformatie over het voorgestelde werk, zie mijn Radcliffe-onderzoeksvoorstel.
Referenties
- Oskar van Deventer, Propp Tiles, Propp Lozenge, Propp Turner, and Propp Twist (video's).
- God’s Number is 20 (website).
- Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, and John Dethridge, The Diameter of the Rubik’s Cube Group Is Twenty, SIAM Journal on Discrete Mathematics, vol. 27, no. 2 (2013).
- Grant Sanderson (3Blue1Brown), Solving problems by adding a dimension.
- William Thurston, Conway’s Tiling Groups, American Mathematical Monthly 97 (1990), no. 8, pp. 757–773.
Updates (21 augustus 2026)
Order-2 Flat Cube (2x2x2): Tom Rokicki heeft bewezen dat Gods getal voor de order-2 Flat Cube 27 is. Vanuit elke toestand kun je in maximaal 27 zetten bij de oplossing komen. Echter, als de Duivel zowel de start- als de eindtoestand mag kiezen, zijn er twee posities die 30 zetten van elkaar verwijderd zijn. In deze berekening telt een draaiing van 60 graden als één zet, 120 graden als twee zetten en 180 graden als drie zetten.
Order-3 Flat Cube: Rui Viana heeft een algebraïsch bewijs gevonden dat Gods getal voor de order-3 Flat Cube minstens 81 is. Tom Rokicki heeft daarnaast een paar toestanden gevonden die 91 zetten van elkaar verwijderd zijn.
Groetjes,