After Math

Op 8 september 2026 kondigde OpenAI aan dat het een door AI gegenereerde oplossing had geproduceerd voor het probleem van het bestaan en de gladheid van de Navier-Stokes-vergelijkingen, een van de zeven Millennium Prize Problems. De aankondiging ontketende een debat over de toewijzing van credits en de respectievelijke bijdragen van mensen en machines aan het resultaat. Bovendien intensiveerde de aankondiging de reeds circulerende vergelijkingen met eerdere AI-overwinningen in domeinen die tot nu toe werden beschouwd als bewijzen van menselijke intellectuele superioriteit. In een recente verklaring schreef Tristan Buckmaster, een van de wiskundigen die betrokken waren bij het Navier-Stokes-saga: "Dit is een Deep Blue-Kasparov-moment."

Er volgen logischerwijs existentiële vragen voor de wiskunde: als AI nu antwoorden kan geven op vragen aan de absolute frontlinie van de wiskunde, staat de discipline dan op het punt "opgelost" te worden, zoals velen hebben gezegd over schaken en Go? Zouden wiskundigen, net als schakers en Go-spelers, gewoon "door moeten spelen" en hun praktijken moeten herstructureren?

Er zit iets goeds in de reactie om "door te spelen". Zoals filosoof C. Thi Nguyen (2019) heeft benadrukt, wordt het doel van een spel niet volledig vervuld door het uiteindelijke doel (winnen). Het werkelijke punt is niet alleen de uitkomst, maar het proces. Dit is wellicht duidelijker bij een gezelschapsspel als Twister dan bij schaken: het doel van Twister is zeker niet om te winnen. Maar iets soortgelijks geldt ook voor diepe intellectuele spellen, zoals schaken en Go. Bijvoorbeeld: een partij Go goed spelen kan een prestatie op zich zijn, zelfs bij een nederlaag.

Maar in de context van de wiskundige praktijk voelt dit als een onnodige terugtocht. In plaats daarvan kunnen we een sterkere stap zetten: we kunnen de karakterisering van wiskunde als een spel verwerpen, waardoor die terugtocht in de eerste plaats overbodig wordt.

De vraag is dan niet simpelweg wat er komt na de wiskunde, zodra AI de moeilijkste vragen kan beantwoorden. Het is ook de vraag waar we naar op zoek zijn wanneer we in de eerste plaats wiskunde bedrijven.

Het narratief dat AI de wiskunde heeft "opgelost", rust op twee aannames die weliswaar verleidelijk en plausibel zijn, maar beide onjuist:

1. AI heeft daadwerkelijk een probleem in de wiskunde opgelost.
2. Wiskunde gaat uitsluitend over het oplossen van problemen.

De eerste aanname is onjuist omdat het voor het echt oplossen van een wiskundig probleem niet voldoende is om enkel een antwoord te geven (zelfs niet als dit formeel is gecertificeerd). Wat ontbreekt, is een begrijpelijk bewijs dat menselijke wiskundigen kunnen begrijpen en gebruiken om de doelen van de wiskunde verder te brengen. En, zoals we hieronder zullen betogen, zelfs als AI ons precies dat zou geven, zou het verhaal niet voorbij zijn, omdat de tweede aanname onjuist is. Wiskunde is duidelijk een veel breder project dan alleen het oplossen van problemen. Wiskundigen streven ernaar nieuwe concepten en theorieën te ontwikkelen, nieuwe vragen te stellen en te beantwoorden, uiteenlopende gebieden te verenigen, wetenschappelijke gemeenschappen te onderwijzen en te ondersteunen, en werk te produceren dat gewaardeerd wordt om zijn schoonheid en diepgang.

We kunnen (en moeten) daarom het narratief verwerpen dat AI de mensheid in de wiskunde heeft verslagen, en hard gaan nadenken over wat wiskunde werkelijk is en wat we willen dat het is.

Niet alle antwoorden zijn oplossingen

OpenAI produceerde een antwoord op de vraag of Navier-Stokes een singulariteit kan ontwikkelen: ja. In The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy produceerde Deep Thought een antwoord op het leven, het universum en alles: 42. Geen van beide is precies wat we wilden.

Natuurlijk gaf OpenAI ons veel meer dan alleen "ja". Deep Thought bood slechts een getal, terwijl OpenAI twee artefacten produceerde die velen bereid zijn als bewijzen te bestempelen. De eerste is een Lean-formalisering die de geldigheid certificeert. Dit werd vergezeld door een manuscript dat het bijbehorende informele bewijs lijkt te bevatten. Waarom is dit dan nog steeds onbevredigend? De reden heeft te maken met het onderliggende begrip van wat een bewijs is.

Er zijn in feite twee opvattingen van een bewijs: een logische opvatting en een begrijpelijke opvatting.

Moderne logica karakteriseert een bewijs in termen van deductieve geldigheid, zodat een bewijs gecontroleerd kan worden door een mechanische procedure die zelf geen begrip van het wiskundige argument vereist. Een Lean-formalisering voldoet exact aan deze normen, en een Lean-formalisering van het Navier-Stokes-resultaat is daarom een oprechte en belangrijke bijdrage: door te voldoen aan de eisen van de logische opvatting van bewijs, waarborgt het zekerheid.

Maar wiskundigen willen ook iets anders van een bewijs. Ze willen begrip (Thurston 1994). Ze willen weten waarom een propositie waar is. Dit soort kennis maakt gebruik van wiskundige ideeën die ze kunnen vatten, communiceren aan andere experts, verbinden met bestaande kennis en gebruiken om verdere vooruitgang te boeken. Dit is de begrijpelijke opvatting van bewijs. Vooralsnog is het niet duidelijk of het resultaat van OpenAI de wiskundige gemeenschap het soort waarde heeft geboden dat men verwacht van de begrijpelijke opvatting van bewijs.

Echte bewijzen zijn tegelijkertijd logische en begrijpelijke bewijzen. Historisch gezien zijn deze twee opvattingen in elkaar opgegaan. Dit komt omdat geen enkele wiskundige een enorm gecompliceerd logisch bewijs kon produceren zonder eerst enkele van de belangrijkste, deelbare ideeën te begrijpen die de stelling waar maakten. De logische opvatting van bewijs werd primair gebruikt om de correctheid van begrijpelijke bewijzen te verifiëren (Burgess en De Toffoli 2022).

Maar met AI kunnen deze twee opvattingen nu dramatisch uit elkaar lopen. We kunnen eindigen met formele bewijzen die losstaan van elk begrijpelijk bewijs.

Dit is geen kritiek op het formele bewijs. Het omgekeerde probleem is minstens zo ernstig. Een begrijpelijk wiskundig argument kan een groot idee overbrengen, terwijl het er niet in slaagt vast te stellen dat het resultaat daadwerkelijk waar is. Jaffe en Quinn (1993) gebruikten de geometriseringstheorie van Thurston voor Haken-driemannigfolden als voorbeeld: een belangrijk inzicht vergezeld van onvoldoende complete bewijzen kan een "blokkade worden in plaats van een inspiratie." Een van de motivaties voor het Flyspeck-formaliseringsproject van Hales was om te verifiëren dat het begrijpelijke (maar moeilijk te controleren) bewijs voor de Kepler-conjectuur inderdaad een echt bewijs was (Hales et al. 2009).

Kortom, het tekortschieten in zowel de logische als de begrijpelijke opvatting creëert blokkades, terwijl echte bewijzen de weg vrijmaken voor wiskundige vooruitgang. Een echte wiskundige oplossing vereist zowel logische correctheid als begrijpelijkheid.

Dit is bijzonder duidelijk in het geval van de zeven Millennium Prize Problems. Ze zijn niet gekozen omdat wiskundigen simpelweg zeven antwoorden wilden, maar omdat ze op zoek waren naar vruchtbare oplossingen. Het Clay Mathematics Institute legt zelf uit waarom een bewijs belangrijk is in het geval van Navier-Stokes: "Omdat een bewijs niet alleen zekerheid geeft, maar ook begrip."

Wat OpenAI ons heeft gegeven, is een antwoord. Maar het is niet duidelijk of ze een vruchtbare oplossing hebben geleverd. Misschien ontdekken we dat ze dat wel hebben gedaan, maar op dit moment is de situatie verre van duidelijk. Een echte oplossing biedt adequate gronden om in het resultaat te geloven, maar ook een begrijpelijk wiskundig argument waardoor het resultaat deel kan uitmaken van de wiskunde zoals die door wiskundigen wordt begrepen en beoefend.

Niettemin, als blijkt dat wat OpenAI heeft geleverd slechts een antwoord is, is dit niet voldoende om de existentiële dreiging die de wiskunde ervaart weg te nemen. Toekomstige AI-systemen zullen waarschijnlijk echte bewijzen produceren die zowel formeel gecertificeerd als volledig begrijpelijk zijn voor wiskundigen. De huidige zorgen dat de wiskunde op het punt staat "opgelost" te worden door AI, worden dus niet volledig weggenomen door simpelweg te hameren op echte oplossingen in plaats van loutere antwoorden.

Je hebt meer nodig dan oplossingen om "wiskunde op te lossen"

Zelfs als toekomstige AI-systemen echte bewijzen produceren—logisch correct en begrijpelijk, zoals die van "meester"-wiskundigen—zou het nog steeds onjuist zijn om te denken dat de wiskunde daarmee "opgelost" is, zoals sommigen beweren over schaken of Go.

Bij schaken en Go accepteren we een radicaal ongelijke concurrentie tussen mensen en machines omdat beide, in de relevante zin, hetzelfde spel spelen.

Maar wiskunde is niet (of althans niet alleen) een spel. Om te beginnen is er geen winnaar. Wiskunde is geen adversarieel spel met vastgestelde winstcondities. Het is zeker waar dat wiskundigen met elkaar concurreren om roem, prijzen, banen en erkenning. Schakers doen dat ook. Maar schakers winnen ook partijen schaken. Er bestaat geen overeenkomstige conditie voor het "winnen" van wiskunde. Er bestaat geen wiskundige schaakmat.

In de wiskunde is het natuurlijker om AI te behandelen als een assistent in plaats van als een concurrent. Zoals Jeremy Avigad (2026) stelt: "We moeten onthouden dat AI niets meer is dan technologie, ontworpen om onze doelen te dienen. Het is misleidend om te denken dat wiskundigen concurreren met AI; wanneer we in een auto rijden, concurreren we niet om te zien wie het snelst kan gaan, en wanneer we een telefoon gebruiken, concurreren we niet om te zien wie het hardst kan praten."

Maar er is een dieper, en in veel opzichten prioriteitsvraagstuk met de framing van concurrentie. Het vereist de aanname dat het oplossen van problemen de activiteit is waaraan wiskundig succes gemeten moet worden.

Echt probleemoplossend vermogen is zeker een van de hoofddoelen van de wiskunde. Het is echter niet het enige doel. Wiskunde is een lichaam van kennis dat wordt benaderd, geïnterpreteerd en verteerd door een wetenschappelijke gemeenschap, en niet een register van abstracte resultaten. Dit eenvoudige punt heeft zelfs een hele beweging in de filosofie van de wiskunde gemotiveerd: de filosofie van de wiskundige praktijk.

Terence Tao (2026) somt vele doelen van de wiskunde op die verder gaan dan probleemoplossing. Deze omvatten het ontwikkelen van nieuwe theorieën en technieken, het begrijpen van de wereld, het in stand houden van een gemeenschap, het opleiden van de volgende generatie wiskundigen, het bijdragen aan cumulatieve kennis en het creëren van werken met esthetische waarde. Natuurlijk zijn deze doelen positief gecorreleerd met echte oplossingen.

Maar AI verbreekt die correlatie, om dezelfde reden dat het de twee opvattingen van bewijs scheidt. Zelfs echte oplossingen zouden ons dus niet tevredenstellen.

Dit is geen kwestie van de doelpaal verplaatsen, maar een erkenning dat elke specifieke doelpaal ontoereikend is. Als wiskunde een spel is, dan is het een oneindig spel.

Deze houding is niet reactionair. We verwerpen zowel de concessie dat het logisch vaststellen van een stelling voldoende is voor een echt bewijs, als de reductie van "AI voor wiskunde" tot het enkel bewijzen van stellingen. Door dit te accepteren, vinden we wellicht vele mogelijkheden voor AI in de wiskunde om de menselijke wiskundige ontplooiing te ondersteunen.

De nasleep

We ontkennen niet dat, als de aankondiging van OpenAI correct is, dit een buitengewone prestatie is. Maar we moeten duidelijk worden over wat voor soort prestatie het is. Op dit moment is het een antwoord, geen oplossing. En zelfs als het resultaat in de loop van de tijd een echte oplossing blijkt te zijn, hebben we betoogd dat oplossingen in de praktijk van de wiskunde niet alles zijn.

De urgentie om te heroverwegen wat we waarderen in de wiskunde wordt al erkend binnen de wiskundige gemeenschap. In een recente verklaring, aanvankelijk ondertekend door 25 Fields-medaillewinnaars, waarschuwen wiskundigen voor een "ernstige misalignment" tussen de doelen van AI-bedrijven en die van de wiskundige gemeenschap.

Wiskundigen moeten meer doen om hun normen te onderzoeken. De prioriteitsnorm is hier niet het probleem (hoewel dat waarschijnlijk een apart probleem is). Het huidige onvermogen om echte oplossingen te onderscheiden van antwoorden, en de groeiende focus op uitsluitend probleemoplossing, zijn dat wel. Deze manier van denken is geïnspireerd door de huidige "credit-economie" in de wiskunde en, zoals David Bessis onlangs in zijn blog besprak, moet deze credit-economie heroverwogen worden.

AI presenteert de wiskunde niet als een einde, maar als een keuze over wat de wiskundige praktijk moet worden. Als wiskundig succes te nauw verbonden raakt met het produceren van gecertificeerde antwoorden, riskeert de wiskunde zich aan te passen aan precies die kenmerken die het gemakkelijkst te benchmarken en te automatiseren zijn.

Als wiskundigen AI daarentegen behandelen als een technologie om haar langdurige en centraal menselijke doelen verder te brengen, kan de technologie bijdragen aan een versnelde bloei en verrijking van de discipline. De belangrijke vraag is daarom niet of AI wiskundigen zal verslaan, maar welke wiskundige doelen we willen dat AI dient.

Wat overblijft in de nasleep zijn niet simpelweg restanten waar mensen om moeten vechten nadat machines alle echte problemen hebben verslonden. Integendeel, het is een kans om te verduidelijken waar wiskunde in essentie over gaat. We moeten opnieuw vragen naar wat we nastreven wanneer we wiskunde bedrijven.

(Een uitgebreidere versie van deze tekst zal elders verschijnen.)