Het artikel onderzoekt de methoden om te bepalen of een onbekende, oude cultuur een getal nul gebruikte in hun cijfersysteem, waarbij een onderscheid wordt gemaakt tussen een standaard positioneel stelsel en een bijectief stelsel (vergelijkbaar met de kolomlabels in Excel).
De belangrijkste inzichten zijn:
- Statistische analyse: Het ontbreken van een specifiek symbool aan het begin van getallen kan wijzen op een nul, mits de dataset groot genoeg is.
- Contextueel bewijs: De meest betrouwbare methode is het vinden van getallen met een bekende betekenis. Als een symbool direct correspondeert met de waarde van de basis, is er sprake van een bijectief systeem.
- Wiskundige patronen: De wet van Benford (frequentie van begincijfers) en de analyse van laatste cijfers (zoals de voorkeur voor factoren van de basis) kunnen helpen bij de decodering.
- Systeemtype: Deze benaderingen zijn enkel relevant voor positionele notaties en niet voor additieve systemen, zoals de Romeinse cijfers.
Hoe zou je weten of een oude cultuur het getal nul kende?
Het onderscheiden van basis- en bijectieve systemen
Stel dat je fragmenten van teksten van een oude cultuur vindt en concludeert dat er vijf symbolen als cijfers werden gebruikt. Hoe zou je dan basis 5 kunnen onderscheiden van bijectieve basis 5?
Stel dat je aanneemt dat deze vijf symbolen de cijfers waren: � ☂︎ ☘︎ <0xE2><0x98><0x97> ☢︎
Je weet echter niet in welke volgorde ze staan. Je ziet simpelweg reeksen zoals ☂︎☘︎☢︎ en � � ☂︎ en gaat ervan uit dat dit getallen zijn.
Als je merkt dat getallen vaak het symbool ☘︎ bevatten, maar dat ☘︎ nooit aan het begin van een getal voorkomt, zou je kunnen afleiden dat ☘︎ een nul is. Maar hiervoor is een behoorlijk grote steekproef nodig. Als je bijvoorbeeld slechts 20 getallen vindt, kun je nauwelijks concluderen dat ☘︎ nooit aan het begin van een getal verschijnt, enkel omdat het in de beperkte set die je hebt gezien niet aan het begin voorkomt.
De rol van statistiek en context
Stel nu dat je teksten vindt met meer cijfersymbolen. Zeg dat je 17 numerieke symbolen hebt gevonden. Je zou kunnen afleiden dat de teksten een systeem in basis 20 gebruikten, omdat het moeilijk voorstelbaar is dat een menselijke cultuur basis 17 zou gebruiken.
Stel vervolgens dat je meer fragmenten vindt en bevestigt dat er inderdaad 20 numerieke symbolen zijn. Wanneer dit puur als een statistisch probleem wordt benaderd, heb je een zeer grote steekproef nodig om af te leiden waaraan de cijfers corresponderen en of ze een basis 20- of een bijectieve basis 20-systematiek (of een ander systeem) gebruiken.
De beste kans is om getallen te vinden in een context waarin je weet welk getal er wordt weergegeven. Als je op somehow weet dat een bepaald symbool correspondeert met het getal 20, dan weet je dat ze geen basis 20 gebruikten, aangezien een systeem in basis b geen enkel symbool heeft voor b.
Alternatieve methoden voor decodering
Mocht je een enorme collectie getallen hebben zonder context — wat zeer onwaarschijnlijk is — dan zou je de wet van Benford kunnen gebruiken om de betekenis van de cijfersymbolen af te leiden: het meest voorkomende begincijfer is waarschijnlijk 1, het daarna meest voorkomende is waarschijnlijk 2, enzovoort.
Hoewel dit een interessante gedachte is, is het veel realistischer dat een cijfersysteem wordt ontcijferd door context te vinden, zoals een lijst met opeenvolgende getallen of getallen met een bekende betekenis.
Aanvullende overwegingen
Naast de bovenstaande analyse zijn er andere theoretische benaderingen mogelijk:
- Analyse van de laatste cijfers: Het analyseren van de laatste cijfers zou nuttig kunnen zijn. Het getal 0 is waarschijnlijk het meest voorkomende laatste cijfer, en in het bijzonder het meest voorkomende herhaalde laatste cijfer (er zijn bijvoorbeeld veel meer getallen die eindigen op 00 dan op 22 of 77). Daarnaast zijn laatste cijfers die gemeenschappelijke factoren hebben met de basis waarschijnlijk vaker aanwezig. In het decimale stelsel zijn dat de even getallen en getallen deelbaar door 5; men zou dus verwachten dat de laatste cijfers 2, 4, 5, 6 en 8 vaker voorkomen dan 1, 3, 7 en 9.
- Notationele systemen: De aanname dat men kan zoeken naar een nul, is gebaseerd op systemen die gebruikmaken van positie-notatie (cijfergebaseerd). Dit is niet van toepassing op systemen met additieve semantiek, zoals het Romeinse cijfersysteem (IVXLCDM).
Hoe zou je weten of een oude cultuur het getal nul kende?
Het onderscheiden van basis- en bijectieve systemen
Stel dat je fragmenten van teksten van een oude cultuur vindt en concludeert dat er vijf symbolen als cijfers werden gebruikt. Hoe zou je dan basis 5 kunnen onderscheiden van bijectieve basis 5?
Stel dat je aanneemt dat deze vijf symbolen de cijfers waren: � ☂︎ ☘︎ <0xE2><0x98><0x97> ☢︎
Je weet echter niet in welke volgorde ze staan. Je ziet simpelweg reeksen zoals ☂︎☘︎☢︎ en � � ☂︎ en gaat ervan uit dat dit getallen zijn.
Als je merkt dat getallen vaak het symbool ☘︎ bevatten, maar dat ☘︎ nooit aan het begin van een getal voorkomt, zou je kunnen afleiden dat ☘︎ een nul is. Maar hiervoor is een behoorlijk grote steekproef nodig. Als je bijvoorbeeld slechts 20 getallen vindt, kun je nauwelijks concluderen dat ☘︎ nooit aan het begin van een getal verschijnt, enkel omdat het in de beperkte set die je hebt gezien niet aan het begin voorkomt.
De rol van statistiek en context
Stel nu dat je teksten vindt met meer cijfersymbolen. Zeg dat je 17 numerieke symbolen hebt gevonden. Je zou kunnen afleiden dat de teksten een systeem in basis 20 gebruikten, omdat het moeilijk voorstelbaar is dat een menselijke cultuur basis 17 zou gebruiken.
Stel vervolgens dat je meer fragmenten vindt en bevestigt dat er inderdaad 20 numerieke symbolen zijn. Wanneer dit puur als een statistisch probleem wordt benaderd, heb je een zeer grote steekproef nodig om af te leiden waaraan de cijfers corresponderen en of ze een basis 20- of een bijectieve basis 20-systematiek (of een ander systeem) gebruiken.
De beste kans is om getallen te vinden in een context waarin je weet welk getal er wordt weergegeven. Als je op somehow weet dat een bepaald symbool correspondeert met het getal 20, dan weet je dat ze geen basis 20 gebruikten, aangezien een systeem in basis b geen enkel symbool heeft voor b.
Alternatieve methoden voor decodering
Mocht je een enorme collectie getallen hebben zonder context — wat zeer onwaarschijnlijk is — dan zou je de wet van Benford kunnen gebruiken om de betekenis van de cijfersymbolen af te leiden: het meest voorkomende begincijfer is waarschijnlijk 1, het daarna meest voorkomende is waarschijnlijk 2, enzovoort.
Hoewel dit een interessante gedachte is, is het veel realistischer dat een cijfersysteem wordt ontcijferd door context te vinden, zoals een lijst met opeenvolgende getallen of getallen met een bekende betekenis.
Aanvullende overwegingen
Naast de bovenstaande analyse zijn er andere theoretische benaderingen mogelijk:
- Analyse van de laatste cijfers: Het analyseren van de laatste cijfers zou nuttig kunnen zijn. Het getal 0 is waarschijnlijk het meest voorkomende laatste cijfer, en in het bijzonder het meest voorkomende herhaalde laatste cijfer (er zijn bijvoorbeeld veel meer getallen die eindigen op 00 dan op 22 of 77). Daarnaast zijn laatste cijfers die gemeenschappelijke factoren hebben met de basis waarschijnlijk vaker aanwezig. In het decimale stelsel zijn dat de even getallen en getallen deelbaar door 5; men zou dus verwachten dat de laatste cijfers 2, 4, 5, 6 en 8 vaker voorkomen dan 1, 3, 7 en 9.
- Notationele systemen: De aanname dat men kan zoeken naar een nul, is gebaseerd op systemen die gebruikmaken van positie-notatie (cijfergebaseerd). Dit is niet van toepassing op systemen met additieve semantiek, zoals het Romeinse cijfersysteem (IVXLCDM).
Groetjes,