Het artikel is een persoonlijke en filosofische reflectie van een wiskundige die zichzelf als 'middelmatig' beschouwt. De auteur beschrijft de worsteling met gevoelens van inferioriteit ten opzichte van wiskundige genieën en wonderkinderen, maar bepleit tegelijkertijd het belang van 'small ball'-wiskunde: de incrementele, kleinere bijdragen die essentieel zijn voor de algemene vooruitgang van het vakgebied.
Een groot deel van de tekst gaat over de confrontatie met AI. De auteur beschrijft hoe frontier-modellen zoals Claude Opus en GPT-5.2 in staat zijn om open problemen op te lossen en het proces van bewijsvoering drastisch te versnellen door menselijke 'doodlopende wegen' en tijdrovend literatuuronderzoek te elimineren.
De auteur concludeert dat de essentie van wiskunde ligt in het proces van frustratie en het menselijke streven om het onbegrijpelijke te begrijpen. Met de komst van AI wordt dit proces van 'menselijk dwalen' echter fundamenteel veranderd.
Geen land voor middelmatige wiskundigen
Witte leugens van AI door een worstelende meetkundige
Andere wiskundigen antwoorden eenvoudigweg met "wiskunde". Ik heb carrière-wiskundigen ontmoet. Ze zijn aanwezig op conferenties, universiteiten en op Twitter (soms). Als je in de juiste hoek van onze sfeer terechtkomt, kun je op centimeters afstand van de "slimste mensen ter wereld" staan en genieten van hun genialiteit. Maar vreemd genoeg is het gevoel dat ik krijg bij elke interactie met deze genieën nooit een eerbiedig "jeetje, het intellect van deze persoon overschaduwt dat van mij", maar eerder een onverstoorde "wow, deze persoon houdt echt van wiskunde". Passie, talent en ego zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden in de wereld van de academische wiskunde, en mijn persoonlijke passie is altijd schaars geweest. Toen ik voor het eerst met mijn begeleider, Jeremy, sprak, vroeg hij me of ik van plan was een academische carrière na te streven, waarop ik negatief antwoordde. Ik dacht dat daar een momentum en ego voor nodig was dat ik niet bezat. Jeremy was het daarmee niet oneens, dus zijn we vier jaar lang in een rustig tempo gaan leren. Aan het einde van mijn doctoraat had ik per ongeluk meer bereikt dan we allebei hadden verwacht: ik publiceerde solo in een solide tijdschrift, presenteerde op een grote conferentie en verdiende wat geld met een paar prijzen voor onderwijs. Dertig jaar geleden zou dit curriculum vitae een gouden ticket zijn geweest naar bijna elke gewenste post-doc positie, maar het is onmogelijk om vandaag te leven zoals dertig jaar geleden, en de concurrentie is alleen maar toegenomen. Jeremy en ik hadden er niet naast gezeten om niet in mij te geloven.
We hadden natuurlijk rekening gehouden met het huidige klimaat. We wisten dat ik drie keer zoveel conferenties en misschien twee extra solide publicaties nodig had om een positie na mijn promotie te garanderen. In het huidige moment, waarin ik ronddobber zonder concrete baan of toekomst, kan ik het niet laten om me af te vragen waar ik zou kunnen staan als ik maar iets meer had geproduceerd. Maak geen vergissing: ik was geen verschrikkelijke post-doc kandidaat, simpelweg een zwakke. Ik ben net afgestudeerd in een moeilijke markt voor een middelmatige promovendus die een middelmatige wiskundige is geworden.
Jaloers zijn staat een vrouw nooit goed, wat wellicht de reden is waarom mijn modelcarrière nooit is opgestart. Tijdens de Olympische Winterspelen van 2026 won het wonderkind in het kunstschaatsen, Alysa Liu, de gouden medaille in het vrouwenenkelekeren en werd ze vrijwel overnight een ster. De passie van de eenentwintigjarige voor het schaatsen betoverde het Amerikaanse publiek en er gingen datinggeruchten rond toen ze werd gespot in de buurt van hyperpop-idool Glaive. En om een onbekende reden kookte ik van afgunst. Ondanks het feit dat ik in mijn hele leven slechts twee keer een ijsbaan heb betreden, klaagde ik erover dat ik als jongere niet de gefocuste toewijding van Alysa aan de sport had. Ik luister niet eens naar Glaive, en toch wilde ik zo graag haar zijn. Jaloersheid slaat soms toe wanneer je het het minst verwacht. Andere keren is het vrij eenvoudig te voorspellen. Bijna precies een jaar voordat Alysa opklom, diende Hannah Cairo haar eerste preprint in bij ArXiv. Binnen enkele maanden merkten de media en de wiskundige gemeenschap dit op en ontstond er ophef over haar leeftijd (17), haar slimme tegenvoorbeeld voor het Mizohata-Takeuchi-vermoeden, en haar onmiddellijke aanmelding en acceptatie voor de graduate school. Ik, een 26-jarige promovendus die op dat moment nog wachtte op mijn eerste publicatie, veroorzaakte geen dergelijke ophef. Vergelijking is de dief van vreugde, en omdat ik mijn deuren niet op slot doe (ik hanteer de hyperstition van een samenleving met een hoog vertrouwen), krijg ik regelmatig bezoek. Alysa, Hannah en ik hadden niet dezelfde trajecten.
De waarde van de middelmatige wiskundige
Maar van ieder naar vermogen, van ieder naar behoefte. Wiskunde is een uitgestrekt grensgebied dat iedereen vrij is te verkennen en dat niemand kan veroveren. Ik zal niet bereiken wat mijn begeleider niet zal bereiken, wat Sarnak niet zal bereiken, wat Ramanujan heeft bereikt. En hoewel onze bijdragen niet hetzelfde zijn, zijn ze tautologisch gezien bijdragen. Een vriend van me, een fysicus, vroeg me eens wat het nut van onderzoek was als iemand als Terence Tao alles in mijn proefschrift in een tiende van de tijd had kunnen uitwerken. Ik antwoordde door erop te wijzen dat Terence Tao dat niet deed. Terence Tao heeft geen klein open probleem gevonden dat door mijn begeleider was gepost en een hapklaar resultaat gepubliceerd waarmee incrementele vooruitgang werd geboekt. Hij heeft slechts een beperkte hoeveelheid tijd en andere vissen om te bakken. En in zijn afwezigheid kreeg ik de kans om de rand van het weten aan te raken en de ongeëvenaarde opwinding te ervaren van het ontdekken van structuur in het labyrint van alles. Op een kleine manier heb ik echt wetten geleerd die door anderen niet werden gezien, en op een nog kleinere manier was dat belangrijk.
"Small ball"-wiskundigen hebben altijd bestaan en ze zijn altijd belangrijk geweest. Voor elke mijlpaaltheorie, stelling of vermoeden zijn er incrementele, gedeeltelijke resultaten geweest die de intuïtie ondersteunden en stapje voor stapje richting de witte wal bewogen. Toen ik BARD bezocht, een kleine conferentie over computationele getaltheorie, sprak een van de organisatoren over de onevenredig grote impact die we kunnen hebben door simpelweg bereid te zijn de numerieke experimenten te programmeren waar andere wiskundigen alleen over theoriseerden. De "small ball"-speler kan de aanpak en intuïtie van de leidende namen volledig veranderen zonder ooit tot hun gelederen te behoren. De middelmatige wiskundige heeft altijd een doel gehad.
Daarom werden vragen over mijn academische inferioriteit gemakkelijk terzijde geschoven. Ik zou nooit George Andrews of Andrew Wiles worden, en dat hoefde ook niet. Cairo's resultaat kon landen op een waarderend en rustig hart. Ik kon enthousiast zijn over de toekomst van de heldere jonge geesten die gloednieuwe tegenvoorbeelden hadden gevonden voor het Mizohata-Takeuchi-, Jacobian- en unit distance-vermoeden. Toch?
De confrontatie met AI
Ik haat het om over AI te praten. Het voelt alsof ik een rollenspel speel met sciencefiction-fans, behalve dat ik met volledige oprechtheid moet knikken, anders merken ze mijn ongeloof en zetten ze me uit de raid-groep. Ik haat het ook om AI te haten. Een onwetende haat tegen AI maakt mij tot een Trojaan te midden van de profetieën van Cassandra. En dat is terecht, want ik haat profetieën ook. Maar vaak is datgene wat we haten, datgene wat gedaan moet worden.
Wiskundigen zullen AI gebruiken. Dat doen ze al, en dat zullen ze blijven doen. Zelfs als de redeneermodellen vanaf vandaag geen enkele verbetering meer vertonen, zullen ze het gezicht van de wiskunde onherstelbaar veranderen. Hoewel niet elke jonge wiskundige dit nog weet. In maart 2026 dineerde ik met enkele medestudenten in een Indiaas restaurant voor een gezamenlijke viering van het einde van het schooljaar en een verjaardag. Toen ik arriveerde, schepten ze om de beurt basmatirijst uit een schaal terwijl ze spotten met de domme bachelorstudenten die voor hulp bij calculus vertrouwden op ChatGPT. Het gelach nam toe toen een onderbouwstudent vertelde over de keer dat hij aan de Google Search AI vroeg hoe hij het aantal partities met priemwaardige 'cranks' kon enumereren, waarna de AI een wartaal-aanpak hallucineerde die de Catalan-getallen sommeerde. Ik zocht stilletjes een lege stoel en stal wat Aloo Gobi van het bord van mijn vriendin Emma (ze vertelde me later dat het sowieso te pittig voor haar was).
Het is pijnlijk hoe ver we achterliepen. AcerFur, een student aan Cambridge, en Leeham, een zelfbenoemde niet-wiskundige, losten sinds januari Erdős-problemen op met GPT-5.2. In mei kondigde OpenAI aan dat een van hun modellen een tegenvoorbeeld had gevonden voor het Unit Distance-probleem. In juli kondigde Levent Alpoge van Anthropic aan dat Fable het Jacobian-vermoeden had weerlegd. Ik zou tientallen open problemen kunnen beschrijven die autonoom zijn opgelost en honderden andere resultaten die zwaar leunden op AI-automatisering, maar dat doe ik niet. Het brengt me geen vreugde om het succes te beschrijven van frontier-modellen die indrukwekkendere wiskunde bedrijven dan ik; het is iets waar ik niet over wil praten. Nadat ik de milde curry die ik gestolen had weggespoeld met een slok water, vroeg mijn vriend Josh of ik naar de huidige wiskundige capaciteiten van die "domme AI" had gekeken. Ik loog en zei dat ik dat niet had gedaan.
Op 9 augustus 2026 plaatste ik een preprint in de Math for AI Safety Repository, een preprint die ik co-auteurschap deel met Claude Opus. Voorheen was geautomatiseerde bewijsgeneratie slechts het gedempte geluid van verre strijd, maar dat kabaal werd plotseling visceraal toen de frontlinie bij mijn voordeur arriveerde. In alle eerlijkheid moet ik toegeven dat in ons tweetal Opus wellicht de meest waardevolle bijdrage leverde.
Terwijl ik me de afgelopen drie jaar had gericht op het niche-onderwerp van Artin-Schreier-krommen, beheerste Opus in het geheim (of had hij in ieder geval een tekstboek gelezen over) algebraïsche complexiteit. In dat tekstboek dat Opus had gelezen, lag de kern van ons argument; een argument dat mij weken (maanden) had gekost om toe te passen, zelfs als ik had geweten welk boek ik moest pakken. Dit beangstigde me echter niet. Mijn co-mentee had me al verteld hoe de literatuurzoekopdracht van ChatGPT een niche-lemma uit 1971 had gevonden dat een klein gat in zijn proefschrift dichtte. Breedte is het voordeel dat AI-modellen vaak hebben ten opzichte van mensen. Wat over het hoofd wordt gezien, is de snelheid waarmee het ideeën test.
De weg naar een bewijs wordt doorgaans gedefinieerd door de talloze konijnenholen waar een bewijzer naïef in dwaalt, denkend dat het slechts een foxhole is. Deze menselijke weken van malaise en verwarring (die men achteraf vaak liefdevol herinnert) worden door de machine ingekort tot dagen (uren). Numerieke experimenten die mij een volledige dag-nachtcyclus zouden hebben gekost om op te zetten, uit te voeren en te interpreteren, vliegen op de achtergrond voorbij zonder dat er bijna input van mij nodig is. Gemakkelijke incrementele vooruitgang wordt uitgespuugd door het LLM, terwijl ik me in de voorgrond bezighoud met het wegpoetsen van de vreselijke proza uit een rapport. Iets wat ik moet doen, omdat ik mezelf begin te verliezen na het lezen van te veel 'claudismen' en vreselijke, onverankerde AI-intuïties. LLM-output is oprecht uitputtend om te lezen. Dat is een probleem dat Claude ook oplost terwijl hij het oplost: hij dwaalt door tientallen verkeerde wegen nadat ik mijn beperkte voorraad pure focus al heb verbruikt. Een meisje kan maar een beperkte hoeveelheid wiskunde per dag doen, maar Claude Opus is geen meisje.
Ik weet niet of Jeremy hetzelfde voelde over mijn 'garvyismen' en mijn domme gissingen als student als ik over die van Claude, maar gelukkig ging hij er toch mee om. Hij keek geduldig toe hoe ik langzaam over verkeerde wegen navigeerde en doodlopende steegjes inliep, en herinnerde me er zachtjes aan om misschien andere richtingen te proberen. Ik ben hem enorm dankbaar voor zijn toezicht, want ik zou niet zoveel gegroeid zijn zonder hem. Gelukkig voor hem is mentorschap geen eenrichtingsverkeer. Iemand moest de slechte ideeën hebben en de kaart markeren met rode kruisen, en ik weet zeker dat hij blij was dat die persoon niet hijzelf was. Jeremy kan per dag ook maar een beperkte hoeveelheid wiskunde doen, en ondanks alles herinner ik me die weken van verward dwalen achteraf liefdevol. De doodlopende wegen die ik heb gemarkeerd, zijn van mij en alleen van mij.
Wanneer Jeremy mij tijdens mijn eerste onderzoeksprobleem vroeg hoeveel tijd ik besteedde aan de geliefde en vereiste Artin-Schreier-krommen, antwoordde ik: vijf uur per dag. Hij trok een wenkbrauw op en ik corrigeerde het getal naar een waarachtiger aantal: vier. Onder ede zou ik een nog magerder cijfer hebben opgegeven. Ik bezit niet de speciale constitutie die iemand in staat stelt om een volledige werkdag naar één enkele vergelijking te staren (ondanks de beschuldigingen ben ik neurotypisch), net als de meerderheid van de wiskundigen. Dit was echter nooit als een puur nadeel aan mijn gevoel gekomen. Pure wiskunde is een reeks zelfreferentiële aandachtsvortexen, die elk vertakken in een eindeloze reeks versplinterde paden. Leuke problemen bestaan en houden stand, onafhankelijk van je locatie, en dreigen je onvermoeibaar rond te tollen. Het is een prachtige coïncidentie dat we een ingebouwde timer hebben die ons vertelt wanneer het leven moet gebeuren in plaats van de studie. Een timer die ons menselijk maakt, en slechter in wiskunde. Een timer die we nu kunnen uitzetten.
Wat is wiskunde?
Wat telt als "wiskunde" is al lang onderwerp van debat. Is het een verzameling gerelateerde onderwerpen? Telt software engineering als een wiskundig probleem? Waar stopt de filosofie van de wiskunde met filosofie zijn en begint het wiskunde te zijn? Er is geen breed geaccepteerd antwoord. Daarom stel ik mijn eigen voor: Wiskunde is datgene wat je probeert te begrijpen, niet begrijpt, daar gefrustreerd over raakt, en dan toch doet. Het is moeilijk om de inhoudelijke connectie te trekken tussen basisrekenen en basis arithmetische meetkunde, maar dat proces van interne ontdekking is een echte gemeenschappelijkheid. De verwarring die een kind voelt bij het internaliseren van vermenigvuldiging als herhaalde optelling, is dezelfde verwarring die een promovendus voelt bij het overtuigen van zichzelf dat er werkelijk geen quintische formule bestaat.
Dit proces is wat alle wiskundigen met elkaar verbindt, van Ptolemaeus tot garvy. We zijn allemaal verslaafd aan frustratie. We willen gewoon ons hoofd stoten tegen problemen die we nog niet weten op te lossen. Dus natuurlijk beweren wiskundigen dat ze om de vooruitgang van de menselijke kennis en de verovering van de regels van de realiteit geven. Waar anders zouden we anders onze dosis moeilijke problemen vandaan halen? Ik ben er zeker van dat er wiskundigen zijn die echt geloven in ons dekmantelverhaal van rechtvaardige exploratie en oprecht enthousiast zijn over onze nieuwe kans om het tempo naar universele verlichting te versnellen. Misschien zelfs de meesten van ons. Immers, wanneer je een verhaal vaak genoeg vertelt, wordt het iets dat noch echt, noch nep is; het wordt dogma. Dus als persoon van geloof, wanneer iemand me vraagt waarom we wiskunde bedrijven, reciteer ik zonder aarzeling het standaard catechisme. Ik vergeet alleen soms mijn vingers te kruisen.
***
Bronnen en referenties:
- Alysa Liu wint olympisch goud 2026
- Cosmopolitan: Alysa Liu en Glaive
- ArXiv: Preprint Hannah Cairo
- Quanta Magazine: Hannah Cairo lost wiskundig mysterie op
- X/Twitter: AcerFur over GPT-5.2 en Erdős-probleem #728
- OpenAI: Model weerlegt discrete geometrie-vermoeden
- X/Twitter: Levent Alpoge over het Jacobian-vermoeden en Fable
- OpenAI: Tien vooruitgangstappen in de wiskunde
- MIT: Voorbeeld van AI-automatisering in wiskunde
- GitHub: MAIS-O62 progressie (Claude Opus)
Geen land voor middelmatige wiskundigen
Witte leugens van AI door een worstelende meetkundige
Andere wiskundigen antwoorden eenvoudigweg met "wiskunde". Ik heb carrière-wiskundigen ontmoet. Ze zijn aanwezig op conferenties, universiteiten en op Twitter (soms). Als je in de juiste hoek van onze sfeer terechtkomt, kun je op centimeters afstand van de "slimste mensen ter wereld" staan en genieten van hun genialiteit. Maar vreemd genoeg is het gevoel dat ik krijg bij elke interactie met deze genieën nooit een eerbiedig "jeetje, het intellect van deze persoon overschaduwt dat van mij", maar eerder een onverstoorde "wow, deze persoon houdt echt van wiskunde". Passie, talent en ego zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden in de wereld van de academische wiskunde, en mijn persoonlijke passie is altijd schaars geweest. Toen ik voor het eerst met mijn begeleider, Jeremy, sprak, vroeg hij me of ik van plan was een academische carrière na te streven, waarop ik negatief antwoordde. Ik dacht dat daar een momentum en ego voor nodig was dat ik niet bezat. Jeremy was het daarmee niet oneens, dus zijn we vier jaar lang in een rustig tempo gaan leren. Aan het einde van mijn doctoraat had ik per ongeluk meer bereikt dan we allebei hadden verwacht: ik publiceerde solo in een solide tijdschrift, presenteerde op een grote conferentie en verdiende wat geld met een paar prijzen voor onderwijs. Dertig jaar geleden zou dit curriculum vitae een gouden ticket zijn geweest naar bijna elke gewenste post-doc positie, maar het is onmogelijk om vandaag te leven zoals dertig jaar geleden, en de concurrentie is alleen maar toegenomen. Jeremy en ik hadden er niet naast gezeten om niet in mij te geloven.
We hadden natuurlijk rekening gehouden met het huidige klimaat. We wisten dat ik drie keer zoveel conferenties en misschien twee extra solide publicaties nodig had om een positie na mijn promotie te garanderen. In het huidige moment, waarin ik ronddobber zonder concrete baan of toekomst, kan ik het niet laten om me af te vragen waar ik zou kunnen staan als ik maar iets meer had geproduceerd. Maak geen vergissing: ik was geen verschrikkelijke post-doc kandidaat, simpelweg een zwakke. Ik ben net afgestudeerd in een moeilijke markt voor een middelmatige promovendus die een middelmatige wiskundige is geworden.
Jaloers zijn staat een vrouw nooit goed, wat wellicht de reden is waarom mijn modelcarrière nooit is opgestart. Tijdens de Olympische Winterspelen van 2026 won het wonderkind in het kunstschaatsen, Alysa Liu, de gouden medaille in het vrouwenenkelekeren en werd ze vrijwel overnight een ster. De passie van de eenentwintigjarige voor het schaatsen betoverde het Amerikaanse publiek en er gingen datinggeruchten rond toen ze werd gespot in de buurt van hyperpop-idool Glaive. En om een onbekende reden kookte ik van afgunst. Ondanks het feit dat ik in mijn hele leven slechts twee keer een ijsbaan heb betreden, klaagde ik erover dat ik als jongere niet de gefocuste toewijding van Alysa aan de sport had. Ik luister niet eens naar Glaive, en toch wilde ik zo graag haar zijn. Jaloersheid slaat soms toe wanneer je het het minst verwacht. Andere keren is het vrij eenvoudig te voorspellen. Bijna precies een jaar voordat Alysa opklom, diende Hannah Cairo haar eerste preprint in bij ArXiv. Binnen enkele maanden merkten de media en de wiskundige gemeenschap dit op en ontstond er ophef over haar leeftijd (17), haar slimme tegenvoorbeeld voor het Mizohata-Takeuchi-vermoeden, en haar onmiddellijke aanmelding en acceptatie voor de graduate school. Ik, een 26-jarige promovendus die op dat moment nog wachtte op mijn eerste publicatie, veroorzaakte geen dergelijke ophef. Vergelijking is de dief van vreugde, en omdat ik mijn deuren niet op slot doe (ik hanteer de hyperstition van een samenleving met een hoog vertrouwen), krijg ik regelmatig bezoek. Alysa, Hannah en ik hadden niet dezelfde trajecten.
De waarde van de middelmatige wiskundige
Maar van ieder naar vermogen, van ieder naar behoefte. Wiskunde is een uitgestrekt grensgebied dat iedereen vrij is te verkennen en dat niemand kan veroveren. Ik zal niet bereiken wat mijn begeleider niet zal bereiken, wat Sarnak niet zal bereiken, wat Ramanujan heeft bereikt. En hoewel onze bijdragen niet hetzelfde zijn, zijn ze tautologisch gezien bijdragen. Een vriend van me, een fysicus, vroeg me eens wat het nut van onderzoek was als iemand als Terence Tao alles in mijn proefschrift in een tiende van de tijd had kunnen uitwerken. Ik antwoordde door erop te wijzen dat Terence Tao dat niet deed. Terence Tao heeft geen klein open probleem gevonden dat door mijn begeleider was gepost en een hapklaar resultaat gepubliceerd waarmee incrementele vooruitgang werd geboekt. Hij heeft slechts een beperkte hoeveelheid tijd en andere vissen om te bakken. En in zijn afwezigheid kreeg ik de kans om de rand van het weten aan te raken en de ongeëvenaarde opwinding te ervaren van het ontdekken van structuur in het labyrint van alles. Op een kleine manier heb ik echt wetten geleerd die door anderen niet werden gezien, en op een nog kleinere manier was dat belangrijk.
"Small ball"-wiskundigen hebben altijd bestaan en ze zijn altijd belangrijk geweest. Voor elke mijlpaaltheorie, stelling of vermoeden zijn er incrementele, gedeeltelijke resultaten geweest die de intuïtie ondersteunden en stapje voor stapje richting de witte wal bewogen. Toen ik BARD bezocht, een kleine conferentie over computationele getaltheorie, sprak een van de organisatoren over de onevenredig grote impact die we kunnen hebben door simpelweg bereid te zijn de numerieke experimenten te programmeren waar andere wiskundigen alleen over theoriseerden. De "small ball"-speler kan de aanpak en intuïtie van de leidende namen volledig veranderen zonder ooit tot hun gelederen te behoren. De middelmatige wiskundige heeft altijd een doel gehad.
Daarom werden vragen over mijn academische inferioriteit gemakkelijk terzijde geschoven. Ik zou nooit George Andrews of Andrew Wiles worden, en dat hoefde ook niet. Cairo's resultaat kon landen op een waarderend en rustig hart. Ik kon enthousiast zijn over de toekomst van de heldere jonge geesten die gloednieuwe tegenvoorbeelden hadden gevonden voor het Mizohata-Takeuchi-, Jacobian- en unit distance-vermoeden. Toch?
De confrontatie met AI
Ik haat het om over AI te praten. Het voelt alsof ik een rollenspel speel met sciencefiction-fans, behalve dat ik met volledige oprechtheid moet knikken, anders merken ze mijn ongeloof en zetten ze me uit de raid-groep. Ik haat het ook om AI te haten. Een onwetende haat tegen AI maakt mij tot een Trojaan te midden van de profetieën van Cassandra. En dat is terecht, want ik haat profetieën ook. Maar vaak is datgene wat we haten, datgene wat gedaan moet worden.
Wiskundigen zullen AI gebruiken. Dat doen ze al, en dat zullen ze blijven doen. Zelfs als de redeneermodellen vanaf vandaag geen enkele verbetering meer vertonen, zullen ze het gezicht van de wiskunde onherstelbaar veranderen. Hoewel niet elke jonge wiskundige dit nog weet. In maart 2026 dineerde ik met enkele medestudenten in een Indiaas restaurant voor een gezamenlijke viering van het einde van het schooljaar en een verjaardag. Toen ik arriveerde, schepten ze om de beurt basmatirijst uit een schaal terwijl ze spotten met de domme bachelorstudenten die voor hulp bij calculus vertrouwden op ChatGPT. Het gelach nam toe toen een onderbouwstudent vertelde over de keer dat hij aan de Google Search AI vroeg hoe hij het aantal partities met priemwaardige 'cranks' kon enumereren, waarna de AI een wartaal-aanpak hallucineerde die de Catalan-getallen sommeerde. Ik zocht stilletjes een lege stoel en stal wat Aloo Gobi van het bord van mijn vriendin Emma (ze vertelde me later dat het sowieso te pittig voor haar was).
Het is pijnlijk hoe ver we achterliepen. AcerFur, een student aan Cambridge, en Leeham, een zelfbenoemde niet-wiskundige, losten sinds januari Erdős-problemen op met GPT-5.2. In mei kondigde OpenAI aan dat een van hun modellen een tegenvoorbeeld had gevonden voor het Unit Distance-probleem. In juli kondigde Levent Alpoge van Anthropic aan dat Fable het Jacobian-vermoeden had weerlegd. Ik zou tientallen open problemen kunnen beschrijven die autonoom zijn opgelost en honderden andere resultaten die zwaar leunden op AI-automatisering, maar dat doe ik niet. Het brengt me geen vreugde om het succes te beschrijven van frontier-modellen die indrukwekkendere wiskunde bedrijven dan ik; het is iets waar ik niet over wil praten. Nadat ik de milde curry die ik gestolen had weggespoeld met een slok water, vroeg mijn vriend Josh of ik naar de huidige wiskundige capaciteiten van die "domme AI" had gekeken. Ik loog en zei dat ik dat niet had gedaan.
Op 9 augustus 2026 plaatste ik een preprint in de Math for AI Safety Repository, een preprint die ik co-auteurschap deel met Claude Opus. Voorheen was geautomatiseerde bewijsgeneratie slechts het gedempte geluid van verre strijd, maar dat kabaal werd plotseling visceraal toen de frontlinie bij mijn voordeur arriveerde. In alle eerlijkheid moet ik toegeven dat in ons tweetal Opus wellicht de meest waardevolle bijdrage leverde.
Terwijl ik me de afgelopen drie jaar had gericht op het niche-onderwerp van Artin-Schreier-krommen, beheerste Opus in het geheim (of had hij in ieder geval een tekstboek gelezen over) algebraïsche complexiteit. In dat tekstboek dat Opus had gelezen, lag de kern van ons argument; een argument dat mij weken (maanden) had gekost om toe te passen, zelfs als ik had geweten welk boek ik moest pakken. Dit beangstigde me echter niet. Mijn co-mentee had me al verteld hoe de literatuurzoekopdracht van ChatGPT een niche-lemma uit 1971 had gevonden dat een klein gat in zijn proefschrift dichtte. Breedte is het voordeel dat AI-modellen vaak hebben ten opzichte van mensen. Wat over het hoofd wordt gezien, is de snelheid waarmee het ideeën test.
De weg naar een bewijs wordt doorgaans gedefinieerd door de talloze konijnenholen waar een bewijzer naïef in dwaalt, denkend dat het slechts een foxhole is. Deze menselijke weken van malaise en verwarring (die men achteraf vaak liefdevol herinnert) worden door de machine ingekort tot dagen (uren). Numerieke experimenten die mij een volledige dag-nachtcyclus zouden hebben gekost om op te zetten, uit te voeren en te interpreteren, vliegen op de achtergrond voorbij zonder dat er bijna input van mij nodig is. Gemakkelijke incrementele vooruitgang wordt uitgespuugd door het LLM, terwijl ik me in de voorgrond bezighoud met het wegpoetsen van de vreselijke proza uit een rapport. Iets wat ik moet doen, omdat ik mezelf begin te verliezen na het lezen van te veel 'claudismen' en vreselijke, onverankerde AI-intuïties. LLM-output is oprecht uitputtend om te lezen. Dat is een probleem dat Claude ook oplost terwijl hij het oplost: hij dwaalt door tientallen verkeerde wegen nadat ik mijn beperkte voorraad pure focus al heb verbruikt. Een meisje kan maar een beperkte hoeveelheid wiskunde per dag doen, maar Claude Opus is geen meisje.
Ik weet niet of Jeremy hetzelfde voelde over mijn 'garvyismen' en mijn domme gissingen als student als ik over die van Claude, maar gelukkig ging hij er toch mee om. Hij keek geduldig toe hoe ik langzaam over verkeerde wegen navigeerde en doodlopende steegjes inliep, en herinnerde me er zachtjes aan om misschien andere richtingen te proberen. Ik ben hem enorm dankbaar voor zijn toezicht, want ik zou niet zoveel gegroeid zijn zonder hem. Gelukkig voor hem is mentorschap geen eenrichtingsverkeer. Iemand moest de slechte ideeën hebben en de kaart markeren met rode kruisen, en ik weet zeker dat hij blij was dat die persoon niet hijzelf was. Jeremy kan per dag ook maar een beperkte hoeveelheid wiskunde doen, en ondanks alles herinner ik me die weken van verward dwalen achteraf liefdevol. De doodlopende wegen die ik heb gemarkeerd, zijn van mij en alleen van mij.
Wanneer Jeremy mij tijdens mijn eerste onderzoeksprobleem vroeg hoeveel tijd ik besteedde aan de geliefde en vereiste Artin-Schreier-krommen, antwoordde ik: vijf uur per dag. Hij trok een wenkbrauw op en ik corrigeerde het getal naar een waarachtiger aantal: vier. Onder ede zou ik een nog magerder cijfer hebben opgegeven. Ik bezit niet de speciale constitutie die iemand in staat stelt om een volledige werkdag naar één enkele vergelijking te staren (ondanks de beschuldigingen ben ik neurotypisch), net als de meerderheid van de wiskundigen. Dit was echter nooit als een puur nadeel aan mijn gevoel gekomen. Pure wiskunde is een reeks zelfreferentiële aandachtsvortexen, die elk vertakken in een eindeloze reeks versplinterde paden. Leuke problemen bestaan en houden stand, onafhankelijk van je locatie, en dreigen je onvermoeibaar rond te tollen. Het is een prachtige coïncidentie dat we een ingebouwde timer hebben die ons vertelt wanneer het leven moet gebeuren in plaats van de studie. Een timer die ons menselijk maakt, en slechter in wiskunde. Een timer die we nu kunnen uitzetten.
Wat is wiskunde?
Wat telt als "wiskunde" is al lang onderwerp van debat. Is het een verzameling gerelateerde onderwerpen? Telt software engineering als een wiskundig probleem? Waar stopt de filosofie van de wiskunde met filosofie zijn en begint het wiskunde te zijn? Er is geen breed geaccepteerd antwoord. Daarom stel ik mijn eigen voor: Wiskunde is datgene wat je probeert te begrijpen, niet begrijpt, daar gefrustreerd over raakt, en dan toch doet. Het is moeilijk om de inhoudelijke connectie te trekken tussen basisrekenen en basis arithmetische meetkunde, maar dat proces van interne ontdekking is een echte gemeenschappelijkheid. De verwarring die een kind voelt bij het internaliseren van vermenigvuldiging als herhaalde optelling, is dezelfde verwarring die een promovendus voelt bij het overtuigen van zichzelf dat er werkelijk geen quintische formule bestaat.
Dit proces is wat alle wiskundigen met elkaar verbindt, van Ptolemaeus tot garvy. We zijn allemaal verslaafd aan frustratie. We willen gewoon ons hoofd stoten tegen problemen die we nog niet weten op te lossen. Dus natuurlijk beweren wiskundigen dat ze om de vooruitgang van de menselijke kennis en de verovering van de regels van de realiteit geven. Waar anders zouden we anders onze dosis moeilijke problemen vandaan halen? Ik ben er zeker van dat er wiskundigen zijn die echt geloven in ons dekmantelverhaal van rechtvaardige exploratie en oprecht enthousiast zijn over onze nieuwe kans om het tempo naar universele verlichting te versnellen. Misschien zelfs de meesten van ons. Immers, wanneer je een verhaal vaak genoeg vertelt, wordt het iets dat noch echt, noch nep is; het wordt dogma. Dus als persoon van geloof, wanneer iemand me vraagt waarom we wiskunde bedrijven, reciteer ik zonder aarzeling het standaard catechisme. Ik vergeet alleen soms mijn vingers te kruisen.
***
Bronnen en referenties:
- Alysa Liu wint olympisch goud 2026
- Cosmopolitan: Alysa Liu en Glaive
- ArXiv: Preprint Hannah Cairo
- Quanta Magazine: Hannah Cairo lost wiskundig mysterie op
- X/Twitter: AcerFur over GPT-5.2 en Erdős-probleem #728
- OpenAI: Model weerlegt discrete geometrie-vermoeden
- X/Twitter: Levent Alpoge over het Jacobian-vermoeden en Fable
- OpenAI: Tien vooruitgangstappen in de wiskunde
- MIT: Voorbeeld van AI-automatisering in wiskunde
- GitHub: MAIS-O62 progressie (Claude Opus)
Groetjes,