Dit artikel bespreekt de eigenschappen van de Fourier-transformatie bij machtswetten, waarbij wordt uitgelegd dat een machtswet in het tijddomein resulteert in een machtswet in het frequentiedomein. De auteur analyseert verschillende scenario's (zoals integratoren en de limiet bij $\alpha = -1$) en legt uit hoe de Gamma-functie als schaalfactor fungeert.
Centraal staat het mysterie van 1/f-ruis, een fenomeen dat in diverse natuurkundige en elektronische systemen voorkomt. De auteur merkt op dat 1/f-ruis (met een amplitudespectrum van $\omega^{-1/2}$) wiskundig gezien zijn eigen Fourier-transformatie is. Door deze eigenschap te vergelijken met die van de Gaussische curve, suggereert de auteur dat deze zelf-transformerende aard de sleutel kan zijn tot het begrijpen van de oorsprong van dit type ruis.
Een interessante Fourier-transformatie - 1/f-ruis
Machtswetten komen veel voor in de wetenschap en techniek. Een verrassende eigenschap is dat de Fourier-transformatie van een machtswet ook een machtswet is. Maar dit is slechts het begin; er worden al snel veel interessante kenmerken zichtbaar. Dit zou zelfs de sleutel kunnen zijn tot het oplossen van een 80 jaar oud mysterie in de natuurkunde.
Het begint met de volgende Fourier-transformatie:
De algemene vorm is $t^\alpha \leftrightarrow \omega^{-(\alpha+1)}$, waarbij $\alpha$ een constante is. Voorbeelden hiervan zijn $t^2 \leftrightarrow \omega^{-3}$ and $t^{-0,75} \leftrightarrow \omega^{-0,25}$. Helaas zijn er aanvullende termen die deze eenvoudige relatie verstoren.
Ten eerste bevat de linkerzijde de term $u(t)$, de eenheidsstapfunctie (unit step function). Deze is gedefinieerd als $u(t) = 0$ voor $t < 0$, en $u(t) = 1$ voor $t \geq 0$. In andere woorden: dit maakt het tijddomein een eenzijdige machtswet.
Ten tweede heeft de machtswet in het frequentiedomein alleen betrekking op de magnitude; er is een faseterm die helemaal niet lijkt op een machtswet.
Ten derde is er een schaalfactor in het frequentiedomein, $\Gamma(\alpha +1)$. Dit is de Gamma-functie, wat in essentie een continue versie van faculteiten is. Beschouw deze vreemde functie simpelweg als een constante die de amplitude van het frequentiedomein schaalt, afhankelijk van de waarde van $\alpha$.
Analyse van verschillende gevallen
Wanneer we kijken naar gevallen waarbij $\alpha$ varieert van -2,0 tot 2,0, blijkt dat de magnitude in het frequentiedomein op een log-log plot een rechte lijn is met een helling van $-(\alpha+1)$. Er is een opvallende symmetrie tussen het tijddomein en het frequentiedomein.
Een van deze gevallen is wellicht bekend: $\alpha = 0$. Dit is de Fourier-transformatie van de eenheidsstapfunctie, met een magnitude van $1/\omega$ en een fase van $-\pi/2$. Dit beschrijft de impuls- en frequentierespons van de perfecte integrator.
Overweeg nu het geval van een integrator gevolgd door een andere integrator. De impulsrespons van deze tweetrapscombinatie is de eenheidsstaprespons geconvolueerd met zichzelf. In het frequentiedomein wordt de magnitude $1/\omega \times 1/\omega$, en de fase wordt $2 \times (-\pi/2)$. Deze cascade van twee integratoren komt overeen met $\alpha = 1$, waarbij de impulsrespons een lineair stijgende lijn is en het frequentiespectrum $1/\omega^2$ is, met $\phi = -\pi$. Evenzo representeert $\alpha = 2$ een cascade van drie integratoren, enzovoort. Het is interessant dat deze Fourier-transformaties zo stabiel zijn, ondanks dat beide domeinen "lastige" kenmerken bevatten (zoals $t^2$ wanneer $t \to \infty$, en $\omega^{-3}$ wanneer $\omega \to 0$).
De limiet bij $\alpha = -1$
Er gebeurt iets nog interessanters wanneer we $\alpha = -1$ naderen. Het tijddomein nadert de vorm van $t^{-1}$ en het frequentiedomein nadert een vlakke magnitude met een nul-fase. Een vlakke magnitude en nul-fase komen echter overeen met een delta-functie, $\delta(t)$, in het tijddomein. Dat wil zeggen: in de limiet waarbij $\alpha \to -1$, is $u(t)t^{-\alpha} = \delta(t)$. Dit komt omdat het scherpe punt van $t^{-\alpha}$ snel groeit naarmate $\alpha \to -1$ en daarmee de gehele functie domineert.
Maar wat gebeurt er precies bij $\alpha = -1$? Hoe zou het scherpe punt de schijnbaar eindige breedte van $t^{-1}$ volledig kunnen tenietdoen? De wiskunde adviseert om deze vraag niet te stellen: herinner u dat het frequentiedomein een schaalfactor heeft van $\Gamma(\alpha+1)$. Voor $\alpha = -1$ is de gamma-functie ongedefinieerd.
1/f-ruis en zelf-transformatie
In het algemeen hebben we gezien dat een machtswet in het ene domein overeenkomt met een machtswet in het andere domein. Bovendien is er sprake van een inverse relatie: als het tijddomein sneller afneemt, dan neemt het frequentiedomein langzamer af, en vice versa. Dit betekent dat er een uniek vervalsnelheid moet zijn waarbij beide domeinen gelijk zijn. Dit gebeurt bij $\alpha = -0,5$, waarbij zowel het tijddomein $t^{-0,5}$ is als het frequentiedomein $\omega^{-0,5}$.
Dit brengt ons bij de gemeten ruis die ontstaat in een gebruikelijke elektronische versterker. Het vlakke gedeelte boven de 100 Hz wordt "witte ruis" genoemd en is goed begrepen. Het hellende gedeelte onder de 100 Hz is echter een mysterie dat al meer dan 80 jaar standhoudt: dit is 1/f-ruis. 1/f-ruis is waargenomen op de vreemdste plekken: in elektronica, verkeersdichtheid op snelwegen, het volume van klassieke muziek, DNA-codering en vele andere zaken.
Veel eigenschappen van ruis zijn direct gerelateerd aan de hoeveelheid vermogen in een signaal (het kwadraat van de amplitude). Daarom denken de meeste experts in termen van vermogensspectra in plaats van amplitudespectra. 1/f-ruis dankt zijn naam aan het feit dat het vermogensspectrum een vorm heeft die dicht bij $1/f$ ligt. Als we echter kijken naar het amplitudespectrum van 1/f-ruis, dan heeft dit een vorm van $1/f^{1/2}$. Op een log-log plot van de amplitude heeft 1/f-ruis dus een helling van -0,5.
In beperkte zin is 1/f-ruis zijn eigen Fourier-transformatie, met $\omega^{-1/2}$ in het frequentiedomein en $t^{-1/2}$ in het tijddomein. Bijvoorbeeld: een enkele puls gegeven door $u(t) t^{-1/2}$ heeft een 1/f vermogenspectrum. Evenzo heeft een willekeurig voorkomende reeks van dergelijke pulsen een 1/f vermogenspectrum, althans over een breed bereik aan frequenties. Daarnaast kan 1/f-ruis worden gecreëerd door witte ruis door een filter te sturen met een impulsrespons van $u(t) t^{-1/2}$. Helaas lijkt geen van deze scenario's een fysieke interpretatie te hebben die de wijdverspreide waarneming van 1/f-ruis verklaart. Er ontbreekt duidelijk nog iets.
Er is ook een ander probleem: $u(t) t^{-1/2}$ is het transformatiepaar van $\text{Mag} = \omega^{-1/2}, \phi = -\pi/4$. Niemand weet echter wat de fase van 1/f-ruis is, of zelfs of het wel een gedefinieerde fase heeft. Als de fase toevallig verschilt van $\phi = -\pi/4$, dan zal het overeenkomstige signaal in het tijddomein ook anders zijn. Het zou dus kunnen dat de karakteristieke tijd-domein golfvorm van 1/f-ruis simpelweg niet $t^{-1/2}$ is.
Desalniettemin is het idee dat 1/f-ruis zijn eigen Fourier-transformatie is, zeer overtuigend. Denk aan de Gaussische curve, de belangrijkste golfvorm in verband met willekeurige gebeurtenissen. De Centrale Limietstelling legt uit waarom de Gaussische curve zo vaak wordt waargenomen. Het is echter ook waar dat de Fourier-transformatie van een Gaussische curve opnieuw een Gaussische curve is. Dit lijkt meer dan toeval; ik denk dat dit een cruciale aanwijzing is voor het oplossen van het mysterie van 1/f-ruis.
Een interessante Fourier-transformatie - 1/f-ruis
Machtswetten komen veel voor in de wetenschap en techniek. Een verrassende eigenschap is dat de Fourier-transformatie van een machtswet ook een machtswet is. Maar dit is slechts het begin; er worden al snel veel interessante kenmerken zichtbaar. Dit zou zelfs de sleutel kunnen zijn tot het oplossen van een 80 jaar oud mysterie in de natuurkunde.
Het begint met de volgende Fourier-transformatie:
De algemene vorm is $t^\alpha \leftrightarrow \omega^{-(\alpha+1)}$, waarbij $\alpha$ een constante is. Voorbeelden hiervan zijn $t^2 \leftrightarrow \omega^{-3}$ and $t^{-0,75} \leftrightarrow \omega^{-0,25}$. Helaas zijn er aanvullende termen die deze eenvoudige relatie verstoren.
Ten eerste bevat de linkerzijde de term $u(t)$, de eenheidsstapfunctie (unit step function). Deze is gedefinieerd als $u(t) = 0$ voor $t < 0$, en $u(t) = 1$ voor $t \geq 0$. In andere woorden: dit maakt het tijddomein een eenzijdige machtswet.
Ten tweede heeft de machtswet in het frequentiedomein alleen betrekking op de magnitude; er is een faseterm die helemaal niet lijkt op een machtswet.
Ten derde is er een schaalfactor in het frequentiedomein, $\Gamma(\alpha +1)$. Dit is de Gamma-functie, wat in essentie een continue versie van faculteiten is. Beschouw deze vreemde functie simpelweg als een constante die de amplitude van het frequentiedomein schaalt, afhankelijk van de waarde van $\alpha$.
Analyse van verschillende gevallen
Wanneer we kijken naar gevallen waarbij $\alpha$ varieert van -2,0 tot 2,0, blijkt dat de magnitude in het frequentiedomein op een log-log plot een rechte lijn is met een helling van $-(\alpha+1)$. Er is een opvallende symmetrie tussen het tijddomein en het frequentiedomein.
Een van deze gevallen is wellicht bekend: $\alpha = 0$. Dit is de Fourier-transformatie van de eenheidsstapfunctie, met een magnitude van $1/\omega$ en een fase van $-\pi/2$. Dit beschrijft de impuls- en frequentierespons van de perfecte integrator.
Overweeg nu het geval van een integrator gevolgd door een andere integrator. De impulsrespons van deze tweetrapscombinatie is de eenheidsstaprespons geconvolueerd met zichzelf. In het frequentiedomein wordt de magnitude $1/\omega \times 1/\omega$, en de fase wordt $2 \times (-\pi/2)$. Deze cascade van twee integratoren komt overeen met $\alpha = 1$, waarbij de impulsrespons een lineair stijgende lijn is en het frequentiespectrum $1/\omega^2$ is, met $\phi = -\pi$. Evenzo representeert $\alpha = 2$ een cascade van drie integratoren, enzovoort. Het is interessant dat deze Fourier-transformaties zo stabiel zijn, ondanks dat beide domeinen "lastige" kenmerken bevatten (zoals $t^2$ wanneer $t \to \infty$, en $\omega^{-3}$ wanneer $\omega \to 0$).
De limiet bij $\alpha = -1$
Er gebeurt iets nog interessanters wanneer we $\alpha = -1$ naderen. Het tijddomein nadert de vorm van $t^{-1}$ en het frequentiedomein nadert een vlakke magnitude met een nul-fase. Een vlakke magnitude en nul-fase komen echter overeen met een delta-functie, $\delta(t)$, in het tijddomein. Dat wil zeggen: in de limiet waarbij $\alpha \to -1$, is $u(t)t^{-\alpha} = \delta(t)$. Dit komt omdat het scherpe punt van $t^{-\alpha}$ snel groeit naarmate $\alpha \to -1$ en daarmee de gehele functie domineert.
Maar wat gebeurt er precies bij $\alpha = -1$? Hoe zou het scherpe punt de schijnbaar eindige breedte van $t^{-1}$ volledig kunnen tenietdoen? De wiskunde adviseert om deze vraag niet te stellen: herinner u dat het frequentiedomein een schaalfactor heeft van $\Gamma(\alpha+1)$. Voor $\alpha = -1$ is de gamma-functie ongedefinieerd.
1/f-ruis en zelf-transformatie
In het algemeen hebben we gezien dat een machtswet in het ene domein overeenkomt met een machtswet in het andere domein. Bovendien is er sprake van een inverse relatie: als het tijddomein sneller afneemt, dan neemt het frequentiedomein langzamer af, en vice versa. Dit betekent dat er een uniek vervalsnelheid moet zijn waarbij beide domeinen gelijk zijn. Dit gebeurt bij $\alpha = -0,5$, waarbij zowel het tijddomein $t^{-0,5}$ is als het frequentiedomein $\omega^{-0,5}$.
Dit brengt ons bij de gemeten ruis die ontstaat in een gebruikelijke elektronische versterker. Het vlakke gedeelte boven de 100 Hz wordt "witte ruis" genoemd en is goed begrepen. Het hellende gedeelte onder de 100 Hz is echter een mysterie dat al meer dan 80 jaar standhoudt: dit is 1/f-ruis. 1/f-ruis is waargenomen op de vreemdste plekken: in elektronica, verkeersdichtheid op snelwegen, het volume van klassieke muziek, DNA-codering en vele andere zaken.
Veel eigenschappen van ruis zijn direct gerelateerd aan de hoeveelheid vermogen in een signaal (het kwadraat van de amplitude). Daarom denken de meeste experts in termen van vermogensspectra in plaats van amplitudespectra. 1/f-ruis dankt zijn naam aan het feit dat het vermogensspectrum een vorm heeft die dicht bij $1/f$ ligt. Als we echter kijken naar het amplitudespectrum van 1/f-ruis, dan heeft dit een vorm van $1/f^{1/2}$. Op een log-log plot van de amplitude heeft 1/f-ruis dus een helling van -0,5.
In beperkte zin is 1/f-ruis zijn eigen Fourier-transformatie, met $\omega^{-1/2}$ in het frequentiedomein en $t^{-1/2}$ in het tijddomein. Bijvoorbeeld: een enkele puls gegeven door $u(t) t^{-1/2}$ heeft een 1/f vermogenspectrum. Evenzo heeft een willekeurig voorkomende reeks van dergelijke pulsen een 1/f vermogenspectrum, althans over een breed bereik aan frequenties. Daarnaast kan 1/f-ruis worden gecreëerd door witte ruis door een filter te sturen met een impulsrespons van $u(t) t^{-1/2}$. Helaas lijkt geen van deze scenario's een fysieke interpretatie te hebben die de wijdverspreide waarneming van 1/f-ruis verklaart. Er ontbreekt duidelijk nog iets.
Er is ook een ander probleem: $u(t) t^{-1/2}$ is het transformatiepaar van $\text{Mag} = \omega^{-1/2}, \phi = -\pi/4$. Niemand weet echter wat de fase van 1/f-ruis is, of zelfs of het wel een gedefinieerde fase heeft. Als de fase toevallig verschilt van $\phi = -\pi/4$, dan zal het overeenkomstige signaal in het tijddomein ook anders zijn. Het zou dus kunnen dat de karakteristieke tijd-domein golfvorm van 1/f-ruis simpelweg niet $t^{-1/2}$ is.
Desalniettemin is het idee dat 1/f-ruis zijn eigen Fourier-transformatie is, zeer overtuigend. Denk aan de Gaussische curve, de belangrijkste golfvorm in verband met willekeurige gebeurtenissen. De Centrale Limietstelling legt uit waarom de Gaussische curve zo vaak wordt waargenomen. Het is echter ook waar dat de Fourier-transformatie van een Gaussische curve opnieuw een Gaussische curve is. Dit lijkt meer dan toeval; ik denk dat dit een cruciale aanwijzing is voor het oplossen van het mysterie van 1/f-ruis.
Groetjes,