Promovendus bewijst een quantum-onzekerheidsprincipe voor fractals

De wiskunde, die chaos, quantumtheorie en oneindig complexe fractale structuren combineert, is bestempeld als een "fundamenteel resultaat".

Introductie

Op quantumschaal gedragen minuscule deeltjes zich op bizarre wijze. Een reden hiervoor is het onzekerheidsprincipe, dat stelt dat hoe meer je weet over waar een quantumdeeltje zich bevindt, hoe minder je kunt weten over hoe snel het beweegt, en vice versa. Onlangs heeft deze regel een zeldzame upgrade gekregen: een nieuw onzekerheidsprincipe dat betrekking heeft op fractals; vormen die even complex blijven, ongeacht hoeveel je erop inzoomt.

Ongeveer tien jaar geleden onderzocht Semyon Dyatlov, een wiskundige aan het Massachusetts Institute of Technology (MIT), of quantumdeeltjes zich anders gedragen dan gewone deeltjes wanneer ze in dezelfde chaotische situaties worden geplaatst. Soms kan een object dat zich chaotisch beweegt, voor altijd gevangen raken in een fractaal-achtig pad. Zouden quantumdeeltjes hetzelfde kunnen doen?

Quantumdeeltjes hebben de neiging zich als golven te verspreiden, wat hun exacte locatie vervaagt. Om uit te zoeken of quantumdeeltjes te veel vervagen om deze complexe, gevangen paden te volgen, had Dyatlov een nieuw onzekerheidsprincipe nodig — een principe dat fractals kon aanpakken.

In 2016 bewees Dyatlov, met kernideeën van de gerenommeerde wiskundige Jean Bourgain (die kort na dit werk overleed), het fractale onzekerheidsprincipe voor eendimensionale fractals, die eruitzien als grillige lijnen. Deze lijnen kunnen de paden vertegenwoordigen die objecten afleggen in twee dimensies, zoals ballen op een biljarttafel. In datzelfde najaar organiseerden Dyatlov en Bourgain een workshop in New Jersey voor wiskundigen uit de hele wereld, in de hoop het bewijs uit te breiden naar hogere dimensies. Een uitgebreid bewijs zou kunnen worden gebruikt om de driedimensionale wereld te bestuderen en zou op zichzelf een universeel wiskundig instrument worden.

De taak bleek echter te moeilijk. Aan het einde van de workshop geloofde volgens Frédéric Naud, een wiskundige van de Sorbonne Universiteit, "niemand echt dat het gedaan kon worden".

Pas jaren later boekte Alex Cohen, tijdens zijn doctoraat aan MIT, de definitieve doorbraak. In een artikel gepubliceerd in 2025 in Annals of Mathematics, algemeen beschouwd als het topjournalistiek van het vakgebied, breidde hij het fractale onzekerheidsprincipe uit naar alle hogere dimensies. Het resultaat vormde de basis van Cohens thesis en leverde hem op 25-jarige leeftijd een assistent-professoraat op aan New York University op.

Peter Sarnak van het Institute for Advanced Study noemde het fractale onzekerheidsprincipe "een fundamenteel resultaat" en "een behoorlijk opmerkelijke prestatie voor iemand in zijn thesis". Dit principe heeft al een nieuwe, diepe manier onthuld waarop quantumdeeltjes verschillen van klassieke deeltjes.

De wiskundige basis: Fourier-transformaties

Hoewel het onzekerheidsprincipe vreemd lijkt in de context van particles, komt het ook voor in minder mysterieuze vormen. Hoe korter een geluid is, hoe minder zeker je kunt zijn over de tonen waaruit het bestaat. Een korte radarpuls kan een onderzeeër nauwkeurig lokaliseren, maar er is een langer signaal nodig om te bepalen waar deze naartoe beweegt.

Al deze onzekerheidsprincipes, inclusief die van de quantummechanica, komen voort uit dezelfde wiskundige bron. Dit diepere wiskundige onzekerheidsprincipe is breed toepasbaar op elke functie — of ruwweg elke curve, ongeacht hoe hobbelig en wild deze eruitziet. Het komt voort uit een vergelijking uit de 19e eeuw genaamd de Fourier-transformatie. Genoemd naar de Fransman Joseph Fourier, ontleedt de Fourier-transformatie elke functie in een set eenvoudige golven, elk met een andere frequentie of toon. Voeg deze eenvoudige golven samen, en je krijgt je oorspronkelijke functie terug.

Het onzekerheidsprincipe is hier inherent aan. Een eenvoudige sinusgolf, die zich oneindig door de ruimte verspreidt, heeft één definitieve frequentie; de Fourier-transformatie ervan is dus een enkele piek. Maar de klap van een snare drum ziet eruit als een puls terwijl deze door de lucht reist. De Fourier-transformatie hiervan heeft een brede spreiding van frequenties — een geluid zonder herkenbare toonhoogte.

In het algemeen geldt: hoe smaller een functie, hoe meer gespreid de Fourier-transformatie moet zijn, en vice versa. Met andere woorden: hoe zekerder je bent over waar een functie in de ruimte piekt, hoe minder zeker je kunt zijn over de frequentie of hoe deze verandert in de tijd.

In de quantummechanica wordt een deeltje wiskundig beschreven als een golf, met pieken op plaatsen waar het waarschijnlijk wordt gevonden. De Fourier-transformatie van die golf beschrijft de beweging van het deeltje. Dit is waarom de positie en het momentum van een quantumdeeltje niet beide tegelijkertijd nauwkeurig bekend kunnen zijn: ze zijn via een Fourier-transformatie met elkaar verbonden.

Fractals en "Fractale Stof"

Maar wat gebeurt er als je de Fourier-transformatie neemt van een functie die eruitziet als een fractal?

Om dit te begrijpen, helpt het om aan een simpel soort fractal te denken: begin met een lijn en verdeel deze in drie segmenten. Verwijder vervolgens het middelste segment. Herhaal dit proces: verdeel elk overgebleven segment opnieuw in drie delen en verwijder het midden. Het resultaat is een fractale verzameling genaamd de Cantor-verzameling. Deze verzameling heeft de eigenschap dat zij "poreus" is — ze zit op elke schaal vol gaten, zoals een spons.

Stel nu dat deze Cantor-verzameling zich op de x-as bevindt, en dat er op elk punt van deze verzameling een piek staat die een frequentie vertegenwoordigt.

Het fractale onzekerheidsprincipe stelt dat als je golven van zo'n fractaal-achtige set frequenties bij elkaar optelt, de resulterende curve niet ook als een fractal kan uitzien — hij kan niet poreus zijn. Het omgekeerde geldt ook: als je de Fourier-transformatie neemt van een fractaal-achtige functie, kan het resultaat geen fractaal-achtige set frequenties zijn.

Dergelijke fractaal-achtige functies treden op wanneer wiskundigen bestuderen wat er gebeurt met quantumdeeltjes — of golven in het algemeen — in chaotische situaties. Net als een bal in een flipperkast zal een object dat chaos ervaart vaak grillig door de gehele ruimte reizen. "Als je naar je pad kijkt, ziet het eruit als een willekeurige kriebel," zegt Elena Kim, een wiskundige aan Harvard University.

In zeldzame gevallen kan een object echter stabiliteit vinden in de chaos. In een vlakke flipperkast zou een bal eeuwig gevangen kunnen blijven tussen drie bumpers. De bal herhaalt niet precies hetzelfde pad, maar blijft beperkt tot de ruimte tussen de bumpers en raakt elke keer een iets ander punt. Als je elk punt markeert waar de bal de bumper raakt, zul je ontdekken dat deze markeringen iets vormen als de Cantor-verzameling.

Deze collectie markeringen wordt ook "fractale stof" genoemd. De meeste ballen die de bumpers raken zullen wegvliegen; dit is de stof die overblijft, aldus Maciej Zworski van de University of California, Berkeley. In tegenstelling tot een flipperbal kan een golf echter niet worden beperkt tot een fractaal-achtig pad, volgens het fractale onzekerheidsprincipe. Als je zou proberen een golf tussen drie bumpers te vangen, zou deze weglekken en ontsnappen.

"Er is dus iets anders aan quantum- en klassieke [chaos]," zegt Dyatlov. "En één ingrediënt dat je daarvoor kunt gebruiken, zijn onzekerheidsprincipes."

De weg naar het bewijs: Line Porosity

Alex Cohen arriveerde in 2021 bij MIT als een zelfbenoemde "jonge, energieke harmonische analist" — harmonische analyse is een vakgebied binnen de wiskunde dat zich richt op het bestuderen van functies en hun Fourier-transformaties. Als promovendus volgde hij de colleges van Dyatlov over het fractale onzekerheidsprincipe. "Hij eindigde elk college met: 'We hebben geen hoger-dimensionaal fractaal onzekerheidsprincipe. Ik wou dat we dat hadden!'" zegt Cohen. "Ik dacht: oké, dit lijkt me een leuk project."

Zijn enthousiasme werd al snel getemperd. Wiskundigen wisten namelijk al dat er veel situaties zijn waarin het fractale onzekerheidsprincipe in hogere dimensies zou falen. Cohens eerste uitdaging was om een heldere manier te vinden om deze gevallen te vermijden.

De typische vereiste van een fractal is dat deze poreus is, wat betekent dat er overal gaten zijn. Een voorbeeld hiervan is het tweedimensionale fractal genaamd het Sierpiński-tapijt; dit wordt gebouwd door een vierkant in een raster van kleinere vierkanten te verdelen en herhaaldelijk het middelste vierkant te verwijderen. Hoewel deze vorm veel gaten heeft, is het nog steeds mogelijk om een rechte lijn te trekken die volledig binnen het tapijt valt.

Dergelijke lijnen vormen een probleem voor het fractale onzekerheidsprincipe. De Fourier-transformatie van een verticale lijn resulteert in een horizontale lijn, en vice versa. In twee of meer dimensies worden beide lijnen als fractals beschouwd, omdat een lijn geen oppervlakte inneemt en het meeste omringende gebied leeg laat, wat voldoet aan de voorwaarde van "veel gaten". Elke fractal die ononderbroken lijnen bevat, doorbreekt dus het fractale onzekerheidsprincipe.

Cohen had een nieuwe, strengere vorm van poreusheid nodig. Hij bedacht wat hij "lijnporeusheid" (line porosity) noemde: elke lijn die je op de fractal tekent, moet tegen veel gaten aanlopen. Zijn bewijs sluit alle fractals uit die niet aan deze voorwaarde voldoen, inclusief het typische Sierpiński-tapijt, maar een aangepast Sierpiński-tapijt met veel meer lege ruimte voldoet wel aan de regel.

Met deze aannames op orde ging Cohen over tot het eigenlijke bewijs. Hij realiseerde zich al snel dat dit anders was dan elk Fourier-gerelateerd probleem waar hij eerder aan had gewerkt. "Ik probeerde al mijn instrumenten te gebruiken om het fractale onzekerheidsprincipe te bewijzen, en geen enkele kwam in de buurt van een oplossing," zegt hij.

Vastgelopen keerde hij terug naar het bewijs van Dyatlov en Bourgain voor één dimensie om precies te begrijpen hoe dat werkte. Zij gebruikten een ongebruikelijke methode waarbij ze telkens één piek van een fractaal-achtige functie isoleerden en aantoonden dat de Fourier-transformatie van die piek zou verspreiden. Door dit voor alle pieken te doen en te kijken hoe de Fourier-transformaties samenkwamen, bewezen zij dat de totale Fourier-transformatie nooit vaak genoeg nul kon zijn om een fractal te vormen — er zouden simpelweg niet genoeg gaten zijn.

Het isoleren van elke piek vereiste de constructie van een zeer specifieke functie die, wanneer vermenigvuldigd met de oorspronkelijke fractaal-achtige functie, alleen de piek zou extraheren en overal anders dicht bij nul zou blijven. Dit wordt een "dempingsfunctie" (damping function) genoemd, en deze moet perfect op maat gemaakt zijn om te werken.

Cohen raadpleegde Dyatlov over zijn plan om deze speciale functie te construeren. Voordat Bourgain eind 2018 stierf, had hij ook met dit probleem geworsteld en had hij zijn ongepubliceerde aantekeningen gedeeld met Dyatlov. Nu deelde Dyatlov ze met Cohen. "Bourgain was een legendarische analist," zegt Cohen. Het lezen van de notitie voelde als "het ontvangen van deze onvoltooide kennis van hem".

De aantekeningen bevatten precies de hint die Cohen nodig had. Dit leidde hem naar een omweg via complexe analyse — de studie van functies met imaginaire getallen (waaronder de wortel uit -1). Deze omweg stelde Cohen in staat om een veel flexibeler object te bouwen, dat vervolgens indirect gebruikt kon worden om de dempingsfunctie te construeren.

Later ontdekte Cohen dat de truc in Bourgain's notitie geen geheim was; de methode kwam voort uit het Beurling-Malliavin theorem uit de jaren zestig. "Ik dacht dat ik speciale voorkennis had," zegt Cohen. "Ik kwam er later achter dat iedereen in het vakgebied deze strategie al kende." Had hij dit geweten, dan had hij wellicht te vroeg opgegeven; zijn onwetendheid gaf hem juist het zelfvertrouwen om door te zetten.

Chaos in de Funhouse: Toepassingen

Kort na het delen van zijn resultaten begonnen andere wiskundigen deze te gebruiken voor nieuwe bewijzen over hoe golven zich gedragen in chaotische situaties. In de natuur komt chaos voor in systemen zoals turbulent water en het weer. Omdat deze systemen te complex zijn om wiskundig te beschrijven, wenden wiskundigen zich vaak tot een speciaal soort ruimte waarin chaos ingebouwd is: de hyperbolische ruimte.

In hyperbolische ruimte lopen parallelle lijnen drastisch uiteen; ze komen steeds verder van elkaar af naarmate je hun pad volgt (het tegenovergestelde van een bol, waar parallelle lijnen convergeren). Dit betekent dat kleine verschillen tussen objecten later enorm kunnen worden — het kenmerkende teken van chaos.

In 2017 gebruikten Dyatlov en Long Jin het eendimensionale fractale onzekerheidsprincipe om te bewijzen dat je een golf nooit kunt vangen op een hyperbolisch oppervlak; deze zal zich altijd verspreiden tot hij elke hoek raakt. In 2025 gebruikten Kim en Nicholas Miller Cohens hoger-dimensionale principe om deze resultaten uit te breiden naar hyperbolische ruimtes van hogere dimensies.

Veel wiskundigen hopen nu te bewijzen dat golven die chaos ervaren zich niet alleen volledig verspreiden, maar dit ook exact gelijkmatig over de gehele ruimte doen. Dit is het onderwerp van een beroemd vermoeden uit 1994 van Sarnak en Zeév Rudnick.

Het bewijzen van dit vermoeden zou aantonen dat golven die chaos ervaren zich op kleine schaal verrassend en willekeurig bewegen, maar op macroscopisch niveau simpel zijn. "Het is als die schilderijen van Monet," zegt Dyatlov. "Als je heel dichtbij komt, zie je veel microscopische kenmerken; er zijn veel penseelstreken." Maar als je afstand neemt en je ogen een beetje dichtknijpt, "ziet het er uniform gekleurd uit." Dit verschilt van klassieke chaos, waarbij objecten vast kunnen komen te zitten in gecompliceerde en gedetailleerde paden.

De impact van het fractale onzekerheidsprincipe zal niet stoppen bij quantumchaos. De instrumenten van de Fourier-analyse worden in veel vakgebieden gebruikt en vormen de ruggengraat van elke industrie die vertrouwt op signaalverwerking. "Het is een fundamenteel feit over de Fourier-analyse," zegt Sarnak. "We hebben nog niet alle toepassingen gezien."