Verspreide gedachten over hoe het tegenwoordig voelt om wiskunde te bedrijven

1. De versnelling van AI in de wiskunde

Als je een normaal persoon bent, heb je misschien het gevoel dat AI al lange tijd goed is in wiskunde [^1]. Maar voor "echte" wiskunde voelde het ongeveer als volgt:

Periode	Gevoel
2024	LLM's zijn speelgoed
Zomer 2025	LLM's zijn interessante speeltjes
Vroege herfst 2025	LLM's kunnen soms nuttige dingen doen
Midden herfst 2025	...veel dingen
Late herfst 2025	...heel veel
Begin 2026	mijn god

Zelfs voor iemand die in het verleden versteld stond van de vooruitgang van AI, was het nog steeds verbazingwekkend om te zien hoe AI in een kwestie van maanden verschoof van een matig nuttig speeltje naar iets waarvan veel mensen nu vinden dat het bijna onmogelijk is om zonder te werken.

2. Productiviteit en de menselijke factor

Persoonlijk zou ik zeggen dat de huidige AI mij ongeveer 50% productiever maakt in het "bedrijven van wiskunde". Dat is ondanks het feit dat AI nu vaak in een paar minuten dingen kan doen die mijzelf uren zouden hebben gekost.

De belangrijkste reden is dat mijn concept van "wiskunde bedrijven" bestaat uit verschillende stappen, zoals het bedenken van ideeën voor stellingen, het proberen deze te bewijzen, het opschrijven, alles reorganiseren om het duidelijker te maken, enzovoort. AI is goed in sommige delen hiervan, maar nog steeds vrij slecht in andere, waardoor de totale versnelling niet zo hoog is als je zou verwachten.

(Zelfs als vliegtuigen tien keer sneller zouden kunnen vliegen, zou je totale reistijd van je appartement in Londen naar het huis van je vriend in Rome niet zoveel afnemen, omdat je nog steeds naar de luchthaven moet en moet wachten om aan boord te gaan.)

3. Automatisering versus transformatie

Maar ik probeer nog steeds (soort van; hier later meer over) mijn oude workflow voor wiskunde te volgen, waarbij ik alleen bepaalde delen ervan automatiseer. Dat kan toch niet kloppen?

Als we een manier zouden vinden om batterijen te maken voor 1% van de huidige kosten, zouden we niet simpelweg zeggen: "cool, batterijen zijn nu goedkoop". We zouden allerlei nieuwe manieren vinden om batterijen te gebruiken die voorheen geen zin hadden, en we zouden de manier waarop we energie opwekken aanpassen om rekening te houden met al deze nieuwe batterijen. Waarschijnlijk zou ons hele energiesysteem getransformeerd worden. Analoog hieraan zou het feit dat AI goed is in bewijzen moeten leiden tot een heel ander evenwicht. Maar wat is dat evenwicht? [^2]

4. Wat betekent "wiskunde bedrijven"?

Het lijkt op dit moment gezond om een flexibele visie te behouden over wat "wiskunde bedrijven" precies betekent. Maar in het absolute minimum houdt het zeker in dat men de wiskunde begrijpt die "ik" aan het "bedrijven" ben. Zolang dat onderdeel is van de workflow, lijkt dit een limiet op te leggen aan hoe snel "ik" wiskunde kan "bedrijven", ongeacht hoe goed de AI is.

Een voor de hand liggende conclusie zou zijn dat mijn kleine organische brein volledig uit de workflow verwijderd zou moeten worden. Misschien! Maar het is interessant om te speculeren over hoe veel sneller zaken zouden kunnen gaan terwijl er nog steeds een menselijk brein in het proces betrokken blijft. Ik denk dat het antwoord is: veel sneller.

5. De tekortkomingen van AI in schrijven en denken

In tegenstelling tot wat je misschien hebt gehoord, zijn mensen nog niet overbodig voor wiskunde. Nog niet. De meest voor de hand liggende reden is dat AI nog steeds slecht is in schrijven.

Mensen klagen vaak dat AI-teksten bepaalde patronen te veel gebruiken of een unieke stem missen. Ik ben het daarmee eens, maar ik had altijd het gevoel dat er een dieper probleem was waar ik mijn vinger niet precies op kon leggen. Bij wiskunde wordt dit heel duidelijk: het probleem is dat het simpelweg geen enkel spoort.

Eigenlijk denk ik dat het dieper gaat dan slecht zijn "in het schrijven". Het lijkt erop dat AI slecht is in bepaalde manieren van denken die zich manifesteren als slecht schrijven.

6. "Spaghetti-code wiskunde" en abstractie

Wanneer beginners wiskunde bedrijven, creëren ze vaak "spaghetti-code wiskunde": stel je een lang document voor met veel vergelijkingen, maar als je naar één specifieke vergelijking wijst, is het moeilijk te zeggen welke aannames eraan ten grondslag liggen, of hoe het in het grotere geheel past. Elk willekeurig idee dat 17 pagina's geleden werd genoemd, kan op elk moment zonder waarschuwing opnieuw worden gebruikt. Met ervaring leren mensen complexe argumenten op te delen in modulaire stukken met een goede "API", in de zin dat de aannames en conclusies voor elk deel relatief eenvoudig zijn.

Op een bepaalde manier heeft AI deze geweldige technische vaardigheden ontwikkeld, terwijl het nog steeds slecht is in het creëren van abstracties. Daarom zijn de argumenten die het geeft lang, verstrengeld en verbijsterend. Dit is wat AI-wiskunde zo vreemd maakt.

7. De objectieve tekortkoming in abstractie

Nu weet ik wat je denkt. Misschien is AI niet slecht in het creëren van abstracties, maar alleen slecht in het creëren van abstracties die werken voor jou, een mens met een klein organisch brein.

Van een afstand bekeken lijkt dat plausibel. En het is misschien tot op zekere hoogte waar. Ik heb een high-bandwidth toegang tot een menselijk brein. Het is niet gek om je voor te stellen dat dit mij een voordeel geeft in het voorspellen van hoe een menselijk brein zou reageren op een bepaalde presentatie van ideeën. Toch beweer ik dat de huidige AI objectief slecht is in het creëren van abstracties, ongeacht of de consument van die abstracties menselijk of artificieel is.

Dit is waarom: als ik AI vraag om iets moeilijks te bewijzen, produceert het een bewijs dat simpel begint en geleidelijk afdaalt in een razernij van complexiteit. Als ik het vraag om dat bewijs op te delen in zelfstandige stukken, produceert het lemma's waarvan de formulering alleen al een hele pagina in beslag neemt. Als ik vraag: "Waarom? Waarom heb je dit met me gedaan?", zegt de AI: "Dit is zo simpel als het kan. Het is niet zo erg. Wat is je probleem?"

Maar als ik een tijdje met de AI discussieer, begin ik de basiscontouren van het argument te begrijpen. En ik vraag: "Waarom probeer je niet eerst gewoon blah te bewijzen met alleen aannames blahblah, zonder je zorgen te maken over blahblahblah? Zou dat niet makkelijker zijn?" Vaak werkt dit niet, of omdat mijn idee slecht was, of omdat de AI niet slim genoeg is om het te doen. (Welke van de twee? Wie weet!) Maar na een paar pogingen kan ik meestal iets vinden dat wel werkt, en de AI kan dit gebruiken om het bewijs op een enigszins eenvoudigere manier te herschrijven. Als ik dit vele malen herhaal, kan ik de complexiteit geleidelijk wegsnijden.

Maar is dat dan nog steeds alleen het bewijs makkelijker maken voor mensen om te begrijpen? Nee! Ten eerste maakt dit het bewijs meestal korter, en soms dramatisch veel korter. Belangrijker is dat tijdens dit proces iemand (misschien ik, misschien de AI) vaak beseft dat er een andere bewijsstrategie is die een sterker resultaat geeft. In plaats van te bewijzen dat $x < 9,7$, kunnen we nu bewijzen dat $x < 7,1$. Dus: ambachtelijke menselijke abstracties zijn "objectief" nuttig.

8. Automatisering en best practices

Sommige mensen zouden kunnen beweren dat het al mogelijk is om een deel van wat ik doe te automatiseren met een soort multi-agent Rube Goldberg-constructie. Ik weet het niet zeker, want mijn ervaring is dat het investeren van veel tijd in slimme AGENTS.MD of aangepaste vaardigheden en harnesses geen efficiënt gebruik van tijd is. Dat spul is enigszins behulpzaam, maar zaken veranderen zo snel dat die kennis een korte halfwaardetijd heeft. Bovendien lijkt het grootste deel van de informatie over deze trucjes te komen van mensen die enthousiast zijn over de technologie zelf.

Aan de andere kant vertelde de automator mij om te proberen te typen: "vraag onafhankelijke agenten om een adversarial review", en ik heb gemerkt dat die zeven woorden vrij nuttig zijn. Ik zou graag een bron vinden met saaie "best practices" voor mensen die graag uit de buurt van de absolute voorhoede blijven.

9. De valkuil van de schijnoplossing

Een andere reden waarom AI mijn productiviteit niet verder verhoogt, is dat het vaak het "groene licht" is, de orgastische toekomst die voor me wegwijkt. Ik vraag AI om iets te doen, en het lijkt bijna te lukken. Dus vraag ik om wijzigingen, en het lijkt te helpen, maar het is nog steeds niet helemaal correct. Uren later heb ik niets bereikt en niets geleerd. Uiteindelijk begin ik opnieuw, ofwel zelf, ofwel met AI aan een zeer korte lijn, en ben ik in 30 minuten klaar. Elke keer dat dit gebeurt, voel ik me dwaas en zeg ik tegen mezelf het niet meer te doen. Maar het is erg moeilijk om dit in real-time te beoordelen.

10. De huidige status quo

Natuurlijk beweer ik niet dat AI intrinsiek slecht is in schrijven, denken of het maken van abstracties. Het is in al deze zaken verbeterd en ik verwacht dat dit zal blijven gebeuren. Alles wat ik zeg is dat, per herfst 2026, mensen nog steeds veel bij te dragen hebben, en dat het niet alleen gaat om een betere uiteenlegging.

11. Vraag over menselijk vermogen

Is AI in de herfst van 2025 daadwerkelijk veel beter geworden in wiskunde? Of valt het menselijke wiskundige vermogen, in het grote geheel, misschien in een nauw bereik?

12. De overvloed aan AI-papers

Sommige mensen reageren op de nieuwe realiteit door enthousiast AI te gebruiken om veel semi-redelijke papers te genereren en deze op arXiv te "spugen". Ik begrijp de prikkels die dit drijven. In zekere zin lijkt het de logische reactie op de nieuwe realiteit. (Na de uitvinding van de auto begonnen we veel meer reizen van lage waarde te maken.) Maar ik denk niet dat dit maatschappelijk nuttig is, en ik neig ernaar te denken dat iedereen binnenkort zal instemmen dat dit gênant is. Maar... ik weet het niet zeker. Misschien is het wel maatschappelijk nuttig? En ik merk dat ik vaag jaloers ben op de mensen die zo in elkaar zitten, die in plaats van zich beperkt te voelen, kansen zien en plunderen.

13. Een optimistisch perspectief

Wil je een optimistische, pro-AI en pro-vooruitgang visie? Oké. Als ik mijn oude workflow voor wiskunde neem, maakt AI deze strikt beter. Veel beter. Het is alsof je een hyper-consciëntieuze stagiair hebt die op veel vlakken slimmer is dan ik, met een ongelooflijke snelheid werkt en ongeveer alles weet.

Ja, AI is slecht in schrijven en het maken van abstracties. Maar als ik gedisciplineerd ben en probeer de wiskunde grotendeels "zelf" te doen terwijl ik AI om hulp vraag, kan ik ideeën veel sneller verkennen dan voorheen, veel minder fouten maken en iets produceren dat net zo duidelijk is als voorheen, terwijl ik net zoveel begrip ontwikkel. Ik kan vragen: "Wat gebeurt er als je een Kofuni-expansie doet?", en direct antwoord krijgen. Ik kan vragen om illustraties of interactieve visualisaties en deze direct zien. Je zou kunnen zeggen dat we ongelooflijk geluk hebben dat we in dit moment leven, waarin deze nieuwe instrumenten dit nieuwe terrein hebben ontsloten om te verkennen.

14. Kirk en Spock

En is dat niet wat ik wilde? Terug in 2024 klaagde ik dat waar AI het meeste mee worstelde het correct krijgen van de feiten was:

Misschien waren de oude sciencefiction-robots een projectie van onze fantasieën. Ik wil dat mijn stijl en stem kostbaar en onkopieerbaar zijn. Ik wil een AI-assistent die onvermoeid feiten opspoort, terwijl ik zorg voor creativiteit, panache en magie. Maar zo werkt het niet. Dus moeten we onthouden: in een scenario waarin AI nuttig is maar mensen een zeker comparatief voordeel behouden, vinden we het misschien niet leuk waar dat voordeel ligt.

Tenminste bij wiskunde, en tenminste voor het moment, mag ik Kirk zijn, terwijl de AI Spock is. (Zelfs bij andere soorten teksten is mijn indruk dat AI sinds 2024 meer is verbeterd langs Spock-dimensies dan langs Kirk-dimensies.) Dus dat is fijn.

15. De rol van de menselijke collaborator

In de afgelopen maanden gebeurt het vaak dat een collaborator AI gebruikt om iets te genereren, en dit vervolgens naar mij stuurt met de vraag of het nuttig is. Ik begrijp waarom dit redelijk lijkt. (Echt waar.) Maar wanneer dit vaak gebeurt, kan men niet anders dan zich afvragen wat het nut van de menselijke collaborator nog is.

16. "Centaur wiskunde" en waakzaamheid

Aan de andere kant—bij creatief schrijven is mijn advies om AI helemaal niet te gebruiken om te schrijven. Stel vragen als je wilt, maar schrijf elk verdomd woord zelf [^3]. Bij wiskunde heb ik niet het gevoel dat zo'n harde lijn zinvol is. Het lijkt erop dat het creëren van iets goeds nog steeds veel menselijke betrokkenheid vereist, tot op het punt van zwoegen op notatie, het herhaaldelijk reorganiseren van zaken en het zwaar redigeren van individuele zinnen. Toch merk ik dat als mensen die inspanning leveren, ze iets kunnen creëren dat net zo goed is als wanneer ze het met de hand hadden gedaan, terwijl het misschien voor 50% door AI is geschreven [^4].

Dus ik vind het niet erg als mensen me "centaur wiskunde" sturen, mits ze verantwoordelijkheid nemen voor de inhoud. Het probleem is dat er bij het werken met AI constante, paranoïde waakzaamheid nodig is om te voorkomen dat zaken buiten je begrip glippen. Ik merk dat ik vaak ongemakkelijk aan mensen wil vragen: "Oké, je hebt overduidelijk AI gebruikt om dit te maken... wat prima is... maar hoeveel hiervan garandeer je? Als we een vergadering hebben om het te bespreken, stort je dan in het moment dat ik vragen begin te stellen?"

17. Smaak en duurzaam voordeel

Wanneer ik in de modus van abstractie-creatie ben, heb ik het gevoel dat ik iets intelligents doe. Wanneer ik tegen de AI schreeuw over slechte notatie en schrijfwerk, heb ik het gevoel dat ik "smaak" toevoeg. Maar ik merk vaak dat ik feedback geef die ongelooflijk basaal lijkt. Dingen als: Dit is een puinhoop, maak het schoon. Of: Heb je die aanname wel nodig? Of: Als je dit probleem niet kunt oplossen, waarom creëer je dan eerst een eenvoudigere versie en probeer je die op te lossen?

Aan de ene kant denk ik dat veel van wat goede menselijke managers doen, neerkomt op het geven van zeer basale feedback. Aan de andere kant is het moeilijk voor te stellen dat ik een groot duurzaam voordeel heb in dit soort zaken. Dus ik vraag me af in hoeverre ik een duurzaam voordeel heb in het maken van abstracties of in smaak.

18. De verschuiving naar uiteenlegging (Expositie)

Een veelvoorkomende reactie op het feit dat AI beter wordt in bewijzen, is dat mensen zich meer moeten concentreren op de uiteenlegging (expositie). Dit kent een overduidelijke Bourdieu-achtige kritiek: menselijke schilders hechtten vroeger veel waarde aan fotorealisme, maar nadat camera's werden uitgevonden, overtuigden ze iedereen ervan dat fotorealisme niet belangrijk is, maar dat expressie telt—wat toevallig iets is wat camera's niet kunnen. Is een verschuiving naar expositie in de wiskunde niet gewoon een manier voor mensen om de doelpaal te verplaatsen en hun eigen voortdurende relevantie te rechtvaardigen?

De enige geloofwaardige manier om die kritiek te vermijden, lijkt mij het accepteren van het feit dat wiskunde eigenlijk al veel meer gefocust had moeten zijn op expositie, zelfs vóór AI. Persoonlijk geloof ik sterk dat dit waar is.

19. Het existentiële vraagstuk

Ik denk dat de grootste reden waarom ik niet productiever ben, is: wat is het nut? In het verleden, als je een elegant bewijs bedacht, zei je tegen jezelf: "Ik heb iets gemaakt! Andere mensen zullen mijn werk lezen en gebruiken! Ik draag bij aan de menselijke vooruitgang." Je kunt dat nu nog steeds tegen jezelf zeggen. Maar je moet je afvragen: zal iemand je bewijs daadwerkelijk lezen? Of zullen ze gewoon een andere AI vragen het aan hen uit te leggen? Zal jouw bewijs hun AI helpen het beter uit te leggen? Voor hoe lang? Als je gewoon een jaar wacht, zou een andere AI dan onafhankelijk hetzelfde bewijs produceren?

***

[^1]: Sommige mensen zouden kunnen beweren dat LLM's nog steeds worstelen met basisrekenen. [^2]: De vooruitgang van AI is zo snel in vergelijking met het vermogen van de samenleving om zich aan te passen, dat we misschien nooit echt zullen zien hoe "het huidige evenwicht" eruitziet. [^3]: Dit essay is, voor wie dat zich afvraagt, gecreëerd door elk verdomd woord zelf te schrijven en AI niets te vragen. [^4]: Je zou een heel debat kunnen voeren over wat dat percentage betekent. Naar mijn mening is het niet het aantal woorden dat door AI is geschreven dat echt telt, maar wie verantwoordelijk is voor de algehele structuur van de ideeën.