In de Hilbertruimte is alles kwantummechanisch mogelijk

Om kwantumfenomenen te verkennen, moeten we de vertrouwde wereld verlaten en het abstracte domein van de Hilbertruimte betreden. Kwantumobjecten hebben meerdere mogelijke toekomsten voordat ze worden waargenomen; de Hilbertruimte stelt natuurkundigen in staat om deze mogelijkheden te onderzoeken.

In de kern van de kwantummechanica liggen enkele heilige regels voor het gebruik van de theorie. De belangrijkste is, globaal gezien, dat men niet moet denken aan gewone objecten die zich door een gewone ruimte bewegen. In plaats daarvan voorspelt de kwantummechanica — in exquis detail — alle mogelijke manieren waarop een object in de toekomst zou kunnen blijken te zijn. Het verkennen van deze mogelijke toekomsten vereist het volgen van een geheel ander wiskundig object: een pijl, bekend als een vector, die is georiënteerd in een uitgestrekt, vreemd domein.

Deze pijlen wijzen niet naar locaties. "Het is een veel abstractere ruimte dan dat," aldus Lucien Hardy, een natuurkundige aan het Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Canada. Ze "wijzen eigenlijk in een richting in een mogelijkheidsruimte."

Deze mogelijkheidsruimte wordt de Hilbertruimte genoemd en fungeert als het primaire podium voor de kwantumfysica. De vroege kwantumpioniers beseften aanvankelijk niet dat de arcane wiskunde die het gedrag van atomen treffend vastlegde, de echte wereld achter zich had gelaten. Het kostte een visionaire theoretisch natuurkundige, John von Neumann, om de kwantumwereld te herkennen en te definiëren als een Hilbertruimte. Zodra hij dat deed, leidde het verkennen van de details van de Hilbertruimte natuurkundigen naar een dieper en meer uniform begrip van de kwantumfysica.

Wat is de Hilbertruimte?

De geboden, of axioma's, van von Neumann waren zijn manier om zin te geven aan de twee verschillende vormen van kwantummechanica die in de jaren twintig vlak na elkaar werden ontwikkeld. Eerst kwam in 1925 de "matrixmechanica" van Werner Heisenberg. Deze maakte gebruik van ondoorgrondelijke tabellen en, in latere formuleringen, eindeloze torens van getallen om de kans te berekenen dat een elektron dat om een atoom cirkelt, naar een hogere of lagere baan zou springen. Het jaar daarop introduceerde Erwin Schrödinger zijn "golfmechanica". Deze gebruikte golven om bijvoorbeeld de waarschijnlijkheid te volgen dat een deeltje op een bepaalde locatie in de ruimte wordt aangetroffen. Hoewel de beelden die deze twee natuurkundigen opriepen volledig verschillend waren, leverden ze identieke voorspellingen op. Heisenberg en Schrödinger waren gekomen op twee radicaal verschillende incarnaties van één theorie. Maar wat was die theorie?

Deze vraag fascineerde David Hilbert, een gerenommeerd wiskundige die een groot deel van zijn leven had gewijd aan het herbouwen van de natuurkunde op een stevig fundament van heldere axioma's. Hij zette von Neumann in het midden van de jaren twintig aan het denken over dit probleem. In 1927 loste het 23-jarige wonderkind — voortbouwend op inzichten van Paul Dirac — dit op in een trilogie van papers.

Volgens Leo Corry, een historicus van de wiskunde, waren de ideeën specifiek van von Neumann, maar de inspiratie — waarom men axiomatiseert en waarvoor — was iets wat hij van Hilbert had overgenomen.

Deze papers legden de regels voor de kwantummechanica vast, waarbij de centrale objecten van de theorie en hun gedrag zorgvuldig werden gedefinieerd. Von Neumann toonde aan dat de torens van Heisenberg en de golven van Schrödinger reflecties waren van dezelfde entiteit, net zoals 0,5 en ½ hetzelfde punt op de getallenlijn aangeven. Ze vertegenwoordigden beiden het hoofdpersonage in de kwantummechanica: de kwantumtoestand.

Alles heeft een toestand. Een munt kan kop of munt zijn. De slinger van een staande klok kan elk aantal posities innemen terwijl hij zwaait. Het grootste deel van de natuurkunde bestaat uit het vastleggen van de toestand van een object en het voorspellen hoe deze zal veranderen.

De kwantumregels van von Neumann compliceren het begrip van een toestand. Voordat u een kwantumobject observeert, heeft het geen vaste set eigenschappen, zoals een specifieke positie. In plaats daarvan heeft het een combinatie van mogelijke eigenschappen die uniek zijn voor de kwantummechanica — een "kwantumsuperpositie". Een superpositie combineert bijvoorbeeld alle mogelijke plaatsen waar het deeltje zou kunnen eindigen. Die mogelijkheden kunnen precies en informatief zijn; misschien is er een kans van 99% dat u uw deeltje links vindt en een kans van 1% dat u het rechts vindt. U weet op welke kansen u moet wedden, maar u kunt pas zeker weten of u heeft gewonnen als u controleert.

Von Neumann stelde de kwantumtoestand voor als een wiskundige pijl, genaamd een vector. Deze pijl wijst in een bepaalde richting door een ruimte die alle mogelijke toekomsten van elk kwantumobject vastlegt — een Hilbertruimte.

Stel u een kwantumverkeerslicht voor met drie mogelijke toestanden: rood, geel of groen. De vector hiervan bevindt zich in een driedimensionale Hilbertruimte, waarbij de drie assen de drie mogelijke toekomstige kleuren vertegenwoordigen. Tot het moment dat het licht wordt waargenomen, heeft het geen kleur, maar eerder een mengeling van mogelijke kleuren. De pijl wijst dus naar het centrale gebied van de ruimte. Hoe nauwer de pijl is uitgelijnd met bijvoorbeeld de rode as, hoe waarschijnlijker het is dat het licht rood schijnt.

De toestand van elk object, van een elektron tot een sterrenstelsel, kan worden vastgelegd door zo'n vector die in een bepaalde richting door zo'n Hilbertruimte wijst. Dit is de eerste regel van de kwantummechanica van von Neumann.

Wat gebeurt er in de Hilbertruimte?

Een pijl beweegt zich op één van twee manieren door de Hilbertruimte. De andere geboden van von Neumann specificeren hoe.

De eerste mogelijkheid komt overeen met wat er gebeurt vóór een waarneming. Terwijl de wereld het object beïnvloedt en de toestand verandert, draait de pijl vloeiend door de Hilbertruimte. Hij kan dichter bij de groene as komen, wat ons verkeerslicht waarschijnlijker maakt om als groen te worden gemeten, of dichter bij rood of geel. Het punt is dat dit alles vloeiend en voorspelbaar gebeurt.

Wanneer u het systeem vervolgens daadwerkelijk observeert, zal de vector onmiddellijk en willekeurig verspringen naar respectievelijk de rode, gele of groene as. Hoe meer hij is uitgelijnd met één as, hoe waarschijnlijker het is dat hij naar die as verspringt in plaats van naar de andere, maar zijn lot is uiteindelijk onvoorspelbaar. Stel dat hij groen wordt. U zult een groen licht waarnemen, en er is nu een kans van 100% dat het bij volgende metingen nog steeds groen zal zijn, omdat de pijl volledig is uitgelijnd met de groene as. De kwantumsuperpositie is verdwenen.

Welke eigenschappen definiëren de Hilbertruimte?

Hoe meer mogelijke toekomsten een object heeft, hoe groter de Hilbertruimte. Een muntachtig deeltje met twee mogelijke toekomsten is een "qubit", het computationele bouwblok van kwantumcomputers. Dit heeft een tweedimensionale Hilbertruimte. Ons driekleurige verkeerslicht heeft een driedimensionale Hilbertruimte. Maar dat is slechts het begin. Een vrij zwevend deeltje zou op elke locatie in het universum kunnen worden gevonden, dus zijn Hilbertruimte moet een oneindig aantal dimensies omvatten.

Deze omvang — of het nu twee dimensies of een oneindig aantal is — is volgens de regels van von Neumann de enige fundamentele eigenschap van een Hilbertruimte. De assen zijn arbitrair en worden door ons bedacht; ze zijn niet intrinsiek aan de ruimte.

Neem een elektron. Het heeft één toestand, één pijl, die wijst in een enorme Hilbertruimte. Deze Hilbertruimte omvat alle mogelijke metingen — energie, positie, impuls, etc. Als u nieuwsgierig bent naar waar het elektron zich zou kunnen bevinden, kunt u de ruimte markeren met de assen die mogelijke posities vertegenwoordigen. Als u zich afvraagt waar het deeltje naartoe zou kunnen gaan, past u een andere set assen toe, die mogelijke impulsen vertegenwoordigen. Ongeacht welke meting u wilt doen, de onderliggende Hilbertruimte blijft hetzelfde.

Deze vrijheid om de Hilbertruimte naar eigen inzicht in te delen, is wat Heisenberg en Schrödinger in staat stelde om twee verschillende versies van dezelfde theorie te bedenken. Het beeld van Heisenberg plaatste in wezen assen en liet ze rond de vector draaien, terwijl het beeld van Schrödinger het tegenovergestelde deed: het plaatste een vaste set assen en liet de vector ten opzichte daarvan draaien. Het waren twee volledig verschillende wiskundige perspectieven op dezelfde pijlen, in dezelfde Hilbertruimtes.

In zijn eerste paper uit 1927 formuleerde von Neumann twee wiskundige criteria die zo'n ruimte definieerden. Ten eerste moest deze "volledig" zijn; er mochten geen regio's of punten ontbreken. En ten tweede moest men de uitlijning tussen een toestand en een as kunnen berekenen, wat u kunt visualiseren door u een licht voor te stellen dat recht naar beneden op een pijl schijnt, zodat deze een schaduw op een as werpt (hoe langer de schaduw, hoe meer de pijl met die as is uitgelijnd). De ruimte moest deze operatie toelaten, bekend als een inner product (inproduct). Elke ruimte met deze twee kenmerken, ongeacht de grootte of oorsprong, was een Hilbertruimte.

"Dit was een belangrijke stap in het creëren van wat we Hilbertruimte-kwantummechanica noemen," zei Miklós Rédei, filosoof van de natuurkunde aan de London School of Economics. "Het is een prachtig voorbeeld van hoe wiskundige generalisatie of abstractie plaatsvindt."

Von Neumann noemde deze abstracte ruimtes Hilbertruimtes omdat zijn mentor, Hilbert, de eerste wiskundige was die aan het begin van de 20e eeuw specifieke ruimtes met oneindige dimensies had verkend. Hilberts werk vertrouwde erop dat die ruimtes volledig waren en een inproduct hadden, maar hij beschouwde ze niet als voorbeelden van een algemenere klasse ruimtes totdat zijn protégé ze samenvoegde. De oudere wiskundige was wellicht verrast dat zijn naam aan deze nieuwe wiskundige structuur werd gekoppeld. "Dr. von Neumann, ik ben werkelijk nieuwsgierig om te weten wat deze Hilbertruimtes eigenlijk zijn," zou Hilbert hebben gevraagd tijdens een lezing in 1929.

Is de Hilbertruimte echt of slechts een abstractie?

Een eeuw na de geboorte van de kwantummechanica heeft de theorie natuurkundigen in een ongemakkelijke positie gebracht. We leven in een wereld waar objecten van positie veranderen terwijl ze zich door drie dimensies van fysieke ruimte bewegen. Maar onze meest fundamentele theorie speelt zich ergens anders af, in het enorme rijk van mogelijkheden van von Neumann. Wat impliceert dit over de realiteit van onze wereld, of die van de Hilbertruimte?

Wiskundig cruciale details

In de kwantumfysica maken Hilbertruimtes gebruik van complexe getallen, die het imaginaire getal i en negatieve regio's bevatten. Maar het vierde gebod van von Neumann garandeert dat de kansen van elke mogelijkheid altijd uitkomen als een reëel, positief getal.

Voor Sean Carroll, filosoof en natuurkundige aan de Johns Hopkins University, is de boodschap duidelijk. Als de kwantummechanica de fundamentele theorie van de natuur is, dan moet de Hilbertruimte worden beschouwd als het fundamentele theater van de realiteit, betoogde hij in een paper uit 2022. Een van zijn onderzoekslijnen probeert onze vertrouwde wereld te destilleren uit de desoriënterende Hilbertruimte die alle manieren omvat waarop het universum mogelijk zou kunnen zijn.

Andere natuurkundigen nemen een pragmatischer standpunt in. Jonathan Sorce, een natuurkundige aan de Princeton University, zegt dat de Hilbertruimte een handige wiskundige constructie is die opmerkelijk nuttig is voor het beschrijven van veel kwantumsystemen — maar niet alle. Hij behoort tot een gemeenschap van onderzoekers die zoeken naar een wiskundige constructie die het weefsel van ruimte en tijd als een kwantumobject kan beschrijven. Een dergelijke theorie is een vereiste om grote vragen te beantwoorden, zoals wat er in het hart van een zwart gat gebeurt.

Natuurkundigen die deze vragen stellen, hebben zich onlangs gericht op een nog abstractere ruimte die bijzonder geschikt lijkt voor hun doeleinden. Dit soort ruimte bestaat uit de dingen die u met een Hilbertruimte zou kunnen doen, zoals hem op verschillende manieren opdelen of de ene doorsnede in de andere draaien. In dit domein hebben ze ontdekt dat zwarte gaten iets minder mysterieus lijken.

Dit soort "über-ruimte" staat tegenwoordig bekend als een von Neumann-algebra. Von Neumann zelf hielp bij de ontwikkeling ervan als een mogelijke oplossing voor enkele logische inconsistenties met de Hilbertruimte die hem zorgen baarden. "Ik zou graag een bekentenis willen afleggen die immoreel kan lijken: ik geloof niet meer in de Hilbertruimte," schreef hij in een brief uit 1935 terwijl hij de voordelen van algebra's verkende.

Sorce deelt de wens van von Neumann niet om één ruimte boven alles te plaatsen. Hij is tevreden met het gebruik van welke wiskundige constructie dan ook die het beste past bij het kwantumobject dat hij bestudeert. Vaak is dat een Hilbertruimte. Soms is het een von Neumann-algebra. En af en toe is het misschien zelfs een van de vele andere ruimtes die wiskundigen in de afgelopen eeuw hebben bedacht.

"Er is een hele dierentuin van dit soort dingen," zei hij.

***

De 5 kwantumgeboden van John von Neumann

1. Een pijl in de Hilbertruimte zal de kwantumtoestand van elk object vertegenwoordigen.
2. Het wijzigen van het object zal ervoor zorgen dat de pijl vloeiend door de Hilbertruimte roteert om een nieuwe toestand te vertegenwoordigen.
3. Verschillende assen in de Hilbertruimte zullen verschillende mogelijke sets eigenschappen van het object weerspiegelen.
4. De schaduw die de pijl op een as werpt, zal de kansen coderen dat die mogelijkheid wordt gerealiseerd wanneer er een meting plaatsvindt.
5. Bij meting zal de pijl willekeurig en onmiddellijk verspringen om uit te lijnen met de as die het waargenomen resultaat vertegenwoordigt, en het object zal een volledig bepaalde eigenschap verkrijgen.